Wielomiany w algebrze

[nowik1991]

Wyznacz wielomian najmniejszego stopnia o współczynnikach zespolonych majacy podwójny
pierwiastek i oraz pierwiastek pojedynczy \(\displaystyle{ -1-i}\).

Wyznacz wielomian najmniejszego stopnia o współczynnikach rzeczywistych majacy:
podwójny pierwiastek i oraz pojedynczy pierwiastek \(\displaystyle{ -1-i}\).

Mam olbrzymi problem z tymi zadaniami....bardzo proszę o pomoc.

[Absx]

Dokładnie...Jak rozwiązać tego typu zadania?

[anna_]

Podobne zadanie:
221447.htm

[nowik1991]

Wiesz...widziałem to ale nie mam kompletnie pojęcia skąd się tam co bierze...no i jest kłopot...

[anna_]

Wzorując się na tamtym przykładzie ta pierwsza część zadania:
wielomian bedzie postaci
\(\displaystyle{ w(z)=(z-a)^2(z-b)}\)
gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to jego pierwiastki (\(\displaystyle{ a}\) podwójny, \(\displaystyle{ b}\) pojedynczy)

czyli wielomian ma postać:
\(\displaystyle{ w(z)=(z-i)^2(z+1+i)}\)

[nowik1991]

I to jest odpowiedź na pierwsze tak? a drugi robi się analogicznie?

[anna_]

Wiesz co, poproś o pomoc mariuszm. Nie za bardzo się na tym znam.

[Mariusz M]

Jeżeli współczynniki mają być zespolone to wielomian będzie wyglądał tak

Wielomian musi mieć wartość zero w tych punktach więc czynniki liniowe
układasz w ten sposób \(\displaystyle{ z-z_{k}}\) gdzie \(\displaystyle{ z_{k}}\) to k. pierwiastek wielomianu
W tym przypadku \(\displaystyle{ z_{0}=i}\) jest pierwiastkiem podwójnym więc bierzesz dwa czynniki
\(\displaystyle{ \left( z-i\right)}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ z_{2}=-1-i}\) jest pierwiastkiem pojedynczym więc bierzesz jeden czynnik
\(\displaystyle{ \left( z+1+i\right)}\)

\(\displaystyle{ W\left( z\right)= \left( z-i\right)^2\left( z+1+i\right)}\)

Jeżeli chcesz mieć współczynniki rzeczywiste to sprzężenia pierwiastków o części urojonej
różnej od zera też muszą być pierwiastkami (o tej samej krotności)

\(\displaystyle{ W\left( x\right)= \left( x^2+1\right)^2\left( x^2+2x+2\right)}\)