Równanie i nierówność

[shems1988]

Witam,

przykłady jak dla mnie z kosmosu:

1)\(\displaystyle{ \sqrt{2-\left| x\right| } < \frac{x}{\left| x\right| }}\)
2)\(\displaystyle{ \left| \left| x ^{2}-4 \right|- x^{2}\right|=4}\)

w tym drugim wyszły mi dziwne wyniki \(\displaystyle{ -4=4}\),\(\displaystyle{ x=0}\),\(\displaystyle{ 4=4}\) oraz \(\displaystyle{ x=0}\)

Bardzo dziękuje za pomoc

[loitzl9006]

1) Zaczynamy od dziedziny - rozwiąż układ nierówności:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2-\left| x\right| \ge 0 \\ \left| x\right| \neq 0 \end{cases}}\)

[shems1988]

Czyli \(\displaystyle{ 2-x \ge 0}\) lub \(\displaystyle{ -2+x \le 0}\)?

[loitzl9006]

no nie. Podpowiedź: przenieś \(\displaystyle{ 2}\) na prawo i pomnóż obustronnie przez \(\displaystyle{ -1}\) (przy tym mnożeniu zmiana znaku nierówności).

[shems1988]

No tak mam \(\displaystyle{ \left|x\right| \le 2}\) czyli jak rozpisze wartość to mi wyjdzie zbiór liczb rzeczywistych a że ma być różny od 0 to wyłączam zero?

[loitzl9006]

Jak to zbiór liczb rzeczywistych z \(\displaystyle{ \left|x\right| \le 2}\) wyjdzie? A np. \(\displaystyle{ x=5}\) albo \(\displaystyle{ x=-5}\) i nierówność nie będzie spełniona.

\(\displaystyle{ \left| x\right| \le 2 \ \ \Rightarrow \ \ x \le 2 \ \ \ \mbox{i} \ \ \ x \ge -2}\)

a że ma być różny od 0 to wyłączam zero?

to się zgadza.

[shems1988]

No tak mój błąd czyli mam \(\displaystyle{ x \in \left\langle -2;0),(0,2\right\rangle}\). Tak? Tylko nie wiem co dalej

[loitzl9006]

zgadza się.

Dalej: jaką wartość (chodzi mi tylko o znak) przyjmuje wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{x}{\left| x\right| }}\) dla \(\displaystyle{ x \in \langle -2;0)}\)?

[shems1988]

ujemną

[loitzl9006]

no właśnie. Czy pierwiastek (bo po lewej pierwiastek) może być mniejszy niż liczba ujemna?

[shems1988]

No na pewno nie może, więc co brak rozwiązania??

[loitzl9006]

dla tego przedziału tak - brak rozwiązania.

Szukamy teraz rozwiązania dla \(\displaystyle{ x \in (0;2 \rangle}\). Wtedy obie strony nierówności są dodatnie, a więc można podnieść obustronnie do kwadratu. Czynimy to.

[shems1988]

a co z tą wartością bezwzględną w mianowniku opuszczamy? i wyjdzie po prawej stronie 1?

[loitzl9006]

a co z tą wartością bezwzględną w mianowniku opuszczamy

bezpośrednio po podniesieniu do kwadratu zostanie liczba podpierwiastkowa, także nie od razu.

i wyjdzie po prawej stronie 1?

tak

[shems1988]

czyli wyjdzie nam \(\displaystyle{ x>1}\)? bo wartość bezwzględna będzie dodatnia, czyli mamy przedział \(\displaystyle{ x \in (1,2\rangle}\)?