Kategoria I, 4 lipca 2009, 17:37

Miejsce na dyskusje i ocenę zadań z I konkursu forumowego ;).
Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

Kategoria I, 4 lipca 2009, 17:37

Post autor: Liga » 10 lip 2009, o 23:09

Zadanie 1.

Rozwiązanie:

Oznaczmy liczby z treści zadania \(\displaystyle{ a_{1},a_{2},...,a_{15}}\)
Podzielmy liczby pierwsze na 2 grupy:
Grupa \(\displaystyle{ I}\): Liczby pierwsze z przedziału \(\displaystyle{ <2,43>}\)
Grupa \(\displaystyle{ II}\): Liczby pierwsze z przedziału \(\displaystyle{ <47,\infty)}\)
Oczywiście nie ma liczb pierwszych w przedziale \(\displaystyle{ (43,47)}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ 47^2=2209> 2009}\), co oznacza z każda z tych 15 liczb ma w swoim rozkładzie na czynniki pierwsze co najwyżej jeden czynnik z grupy \(\displaystyle{ II}\). Liczb pierwszych z grupy \(\displaystyle{ I}\) jest 14, co oznacza, że istnieje liczba \(\displaystyle{ a _{i}(i \in {1,2,..,15})}\), która w swoim rozkładzie liczby z grupy \(\displaystyle{ I}\) nie ma. Z kolei \(\displaystyle{ a _{i}}\) ma co najwyżej 1 czynnik z grupy \(\displaystyle{ II}\), stąd jest ona pierwsza.
\(\displaystyle{ c.n.d}\)





Zadanie 2.

Rozwiązanie:
Niech \(\displaystyle{ M}\)będzie punktem przecięcia odcinków \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ CD}\), a \(\displaystyle{ F}\) punktem przecięcia prostej \(\displaystyle{ BM}\) z bokiem \(\displaystyle{ AC}\).
Stosując tw. Cevy otrzymujemy: \(\displaystyle{ \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} =1 \Leftrightarrow \frac{CF}{FA}= \frac{1}{2}}\)
Następnie, stosując tw. van Aubela mamy: \(\displaystyle{ \frac{CM}{MD}= \frac{EC}{BE} + \frac{CF}{FA} =1}\), czyli \(\displaystyle{ CM=MD}\)

Z założenia, trójkąt \(\displaystyle{ ADM}\) jest równoramienny, czyli \(\displaystyle{ AM=MD}\)

Skoro \(\displaystyle{ AM=MD=CM}\), to punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ACD}\). Jest on równocześnie środkiem odcinka \(\displaystyle{ CD}\), co oznacza, że odcinek \(\displaystyle{ CD}\) jest średnicą wspomnianego okręgu. Kąt \(\displaystyle{ BAC}\) leży naprzeciwko odcinka \(\displaystyle{ CD}\), jest więc prosty.

Zadanie 3.
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ (a+b)(a+c)=a^2+ab+ac+bc=a(a+b+c) +bc}\)
Liczby a,b,c są nieujemne, więc podstawiając \(\displaystyle{ x=bc \ i \ y=a(a+b+c)}\) można skorzystać z nierówności \(\displaystyle{ x+y \ge 2 \sqrt{xy}}\)
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ bc+a(a+b+c) \ge 2 \sqrt{abc(a+b+c)}}\)
\(\displaystyle{ c.n.d}\)


Zadanie 4.

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ S}\)- suma tych liczb
Niech a będzie najmniejszą z tych liczb. Korzystając z wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ S=a+(a+1)+(a+2)+...+(a+1999)=2000 \cdot \frac{a+a+1999}{2}=1000(2a+1999)=2^3 \cdot 125 \cdot (2a+1999)}\)
Zauważmy, że liczba \(\displaystyle{ (2a+1999)}\) jest nieparzysta, więc w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby\(\displaystyle{ S}\) dwójka występuje w nieparzystej potędze, stąd nie może być ona kwadratem liczby całkowitej.
\(\displaystyle{ c.n.d}\)



Zadanie 5.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że jeżeli para \(\displaystyle{ ( x_{0}, y _{0} )}\) spełnia ten układ równań, to para \(\displaystyle{ ( x_{0}, -y _{0} )}\) też. Żeby uzyskać nieparzystą liczbę rozwiązań, układ ten musi spełniać para liczb \(\displaystyle{ ( x_{0}, 0} )}\)(Gdyż \(\displaystyle{ -0=0}\)).
Podstawiając \(\displaystyle{ y=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2=0\\(x-k)^2=1\end{cases}}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0\\k^2=1\end{cases}}\)
Stąd \(\displaystyle{ k=1 \vee k=-1}\)

Podstawiając\(\displaystyle{ k=1}\) do układu otrzymujemy

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2=0\\(x-1)^2+y^2=1\end{cases}}\)

Rzeczywiście, spełniają go jedynie 3 pary liczb: \(\displaystyle{ (1;1),(1;-1),(0;0)}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ k=-1}\) do układu otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2=0\\(x+1)^2+y^2=1\end{cases}}\)

Rzeczywiście, spełniają go jedynie 3 pary liczb: \(\displaystyle{ (-1;1),(-1;-1),(0;0)}\)

Odp. \(\displaystyle{ k=1 \vee k=-1}\)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2710
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 650 razy

Kategoria I, 4 lipca 2009, 17:37

Post autor: Sylwek » 11 lip 2009, o 00:50

Oceny:

Zadanie 1. - 6
Zadanie 2. - 6
Zadanie 3. - 6
Zadanie 4. - 6
Zadanie 5. - 6

Komentarze:

Zadanie 1. - Ładne, precyzyjne rozwiązanie. W tym zadaniu łatwo można było "puścić słowotok".

Zadanie 2. - Istnieją prostsze metody

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Kategoria I, 4 lipca 2009, 17:37

Post autor: scyth » 14 lip 2009, o 20:49

fajnie, że jest max.

ODPOWIEDZ