Mam wyznaczyć wszystkie automorfizmy dla \(\displaystyle{ Z}\)
Przychodzą mi do głowy tylko 2...:
\(\displaystyle{ f: Z \ni x \rightarrow x \in Z}\)
oraz
\(\displaystyle{ f: Z \ni x \rightarrow -x \in Z}\)
Wszystkie automorfizmy w Z
-
- Użytkownik
- Posty: 1358
- Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 222 razy
Wszystkie automorfizmy w Z
I słusznie. Izomorfizm przenosi generator na generator, a te są tylko dwa w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) -- mianowicie \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\). Ponadto, łatwo pokazać, że każdy homomorfizm \(\displaystyle{ \varphi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}}\) jest postaci \(\displaystyle{ \varphi(x)=kx}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\) jest ustalone. Stąd już Twoja teza wynika łatwo.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Wszystkie automorfizmy w Z
Treść trzeba doprecyzować i dopiero wtedy będzie można powiedzieć, które z powyższych rozwiązań jest błędne. Chodzi o automorfizmy grup addytywnych czy automorfizmy pierścieni?