W przestrzeni \(\displaystyle{ l ^{\infty}}\) dane są trzy zbiory:
\(\displaystyle{ A_1=\left\{(x_n) \in l^{\infty}: sup |x_n|<1 \right\}}\), \(\displaystyle{ n \in N}\).
\(\displaystyle{ A_2=\left\{(x_n) \in l^{\infty}: \forall x\in N |x_n|<1 \right\}}\)
\(\displaystyle{ A_3=\left\{(x_n) \in l^{\infty}: \forall x\in N |x_n| \le 1 \right\}.}\)
Czy zbiory te są różne? Znaleźć wnętrze int(\(\displaystyle{ A_i}\)) i domknięcie \(\displaystyle{ \overline{A_i}}\) każdego z nich.
Jak się rozwiązuje takie zadania?
Wnętrze, domknięcie zbioru
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 208
- Rejestracja: 9 paź 2009, o 15:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: RZ
- Podziękował: 65 razy
- Pomógł: 2 razy
Wnętrze, domknięcie zbioru
Nie wiem czy dobrze to rozkminiłem, ale z uwagi @Spektralny wynika, że \(\displaystyle{ \sup A_2=1}\), a skoro \(\displaystyle{ \sup A_1<1}\), to \(\displaystyle{ A_1 \subset A_2}\). \(\displaystyle{ \sup A_3 = 1}\), ale elementy ciągów występujących w tym zbiorze mogą być równe \(\displaystyle{ 1}\), dlatego \(\displaystyle{ A_2 \subset A_3}\). Dlatego \(\displaystyle{ A_1 \subset A_2 \subset A_3.}\) Jeśli coś namieszałem, to niech ktoś poprawi.