Wskazać dowolny dzielnik sumy potęg liczb

[gajatko]

Zadanie:
Wskazać dowolny dzielnik pierwszy podanej liczby:
a) \(\displaystyle{ 13^{17}+6^{17}}\)
b) \(\displaystyle{ 13^{20}-12^{20}}\)
a) \(\displaystyle{ 13^{18}-8^{18}}\)
a) \(\displaystyle{ 13^{19}-10^{19}}\)

Dzięki!

[Qetu]

Spróbuj w ten sposób. Nie mam czasu sam sprawdzić bo zaraz idę, ale może o to chodzi:

\(\displaystyle{ 13^{20}-12^{20}=(13^{10})^2-(12^{10})^2=(13^{10}-12^{10})(13^{10}+12^{10})}\) i dalej "rozbijasz" to \(\displaystyle{ (13^{10}-12^{10})}\) w ten sam sposoób itd. itd.

[AloneAngel]

w a) możemy posłużyć sie nieco wzorem skróconego mnożenia, gdy mamy wykładniki nieparzyste:

\(\displaystyle{ a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b...)}\)

I to co otrzymamy w pierwszym nawiasie może być naszym dzielnikiem( w Twoim przypadku jest on liczbą pierwszą).

[grejon]

Zadanie:
Wskazać dowolny dzielnik pierwszy podanej liczby:
a) \(\displaystyle{ 13^{17}+6^{17}}\)

Dzięki!

\(\displaystyle{ 13^{17}+6^{17}=(13+6)(13^{16}-13^{15} \cdot 6+...+6^{16})=19(13^{16}-13^{15} \cdot 6+...+6^{16})}\)

Liczba się dzieli przez 19.

[gajatko]

Dzięki, nie znałem tych wzorów.
Moje rozwiązania: 19, 25 (czyli 5, bo ma być dzielnik pierwszy), 21 (czyli 7 lub 3), 3.
Wystarczy użyć wzorów na \(\displaystyle{ a^n-b^n=(a-b)(...)}\), \(\displaystyle{ a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(...)}\). Czasami trzeba było rozpisać \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a+b)(a-b)}\), żeby ostatecznie dojść do sumy potęg nieparzystych.

Pozdrawiam, dziękuję za pomoc.