Funkcja ciągła - miary zero ?

[paweljakubowski]

Jak pokazać , że dowolna funkcja ciągła jest zbiorem miary zewnętrzenej Lebesque'a zero ?

[Spektralny]

Masz na myśli wykres funkcji ciągłej jako podzbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)? Niech \(\displaystyle{ f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}}\) będzie funkcją ciągłą. Zauważmy przede wszystkim, że jej wykres to zbiór mierzalny, bo jest domknięty. Możemy więc zajmować się miarą Lebesgue'a, zamiast miarą zewnętrzną Lebesgue'a. Załóżmy, że wykres \(\displaystyle{ \mbox{Gr}(f)}\) ma miarę Lebesgue'a dodatnią. Dla każdej rzeczywistej liczby dodatniej \(\displaystyle{ r}\), niech dana będzie funkcja \(\displaystyle{ g_r(x)=f(x)+r}\); jej wykres \(\displaystyle{ \mbox{Gr}(g_r)}\) jest przesunięciem \(\displaystyle{ \mbox{Gr}(f)}\) o wektor \(\displaystyle{ [0,r]}\). Miara Lebesgue'a jest niezmiennicza na przesunięcia, a więc zbiory \(\displaystyle{ \mbox{Gr}(g_r)}\) mają taką samą miarę dodatnią (równą mierze \(\displaystyle{ \mbox{Gr}(f)}\)). Ale z definicji funkcji wynika, że jeżeli \(\displaystyle{ r_1\neq r_2}\), to \(\displaystyle{ \mbox{Gr}(g_{r_1})\cap \mbox{Gr}(g_{r_2})=\varnothing}\), a więc znaleźliśmy w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) nieprzeliczalnie wiele podzbiorów mierzalnych miary dodatniej; jest to sprzeczność np. z ośrodkowością miary Lebesgue'a.

[paweljakubowski]

Muszę to "przetrawić" ale dzięki za szybką odpowiedz.