Rozwiązania w zbiorach

[Absx]

W zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ_5}\) rozwiąż równanie \(\displaystyle{ 2x+4 = 0}\) oraz układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} 3x+4y = 1 \\ 4x+y = 2\end{cases}}\).

[lukasz1804]

Zauważ, że równanie \(\displaystyle{ 2t=0}\) ma tylko jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ t=0}\). Wobec tego należy poszukiwać rozwiązania równania \(\displaystyle{ x+2=0}\), a to jest już proste.

Ponieważ \(\displaystyle{ 4y=-y}\), to pierwsze równanie układu przybiera postać \(\displaystyle{ 3x-y=1}\). Stosując metodę przeciwnych współczynników otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ 2x=3}\). Dalej rozwiązanie jest już łatwe.

[Absx]

Myślę, że jeżeli chodzi o \(\displaystyle{ \ZZ_5}\) to

\(\displaystyle{ 2x+4=0}\)

\(\displaystyle{ 2x=-4}\)

\(\displaystyle{ x=-2}\)

Jednak w \(\displaystyle{ \ZZ_5}\) wydaje mi się, że będzie to wartość \(\displaystyle{ -7}\) ale mogłem pomylić pojęcia

[lukasz1804]

Liczby \(\displaystyle{ -7, -2}\) nie są elementami zbioru \(\displaystyle{ \ZZ_5}\) (zbiór ten zawiera jedynie wszystkie reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\) dowolnej liczby całkowitej).

[Absx]

To w takim razie jak na to spojrzeć? Bo pisałeś \(\displaystyle{ x+2=0}\) to aby to było spełnione to x musi być równe \(\displaystyle{ -2}\)

[lukasz1804]

Liczba \(\displaystyle{ 3}\) należy do \(\displaystyle{ \ZZ_5}\) i mamy \(\displaystyle{ 3+2=0}\), bo równość traktujemy jako przystawanie modulo \(\displaystyle{ 5}\), tj. że prawa strona równania jest resztą z dzielenia lewej strony przez \(\displaystyle{ 5}\).

[vpprof]

Co do pierwszego równania, chodziło o to, że:

\(\displaystyle{ 2x+4\equiv0 \pmod 5 \\
2\left(x+2\right)\equiv0 \pmod 5 \\
x+2\equiv0 \pmod 5 \\
x\equiv3 \pmod 5}\)

Czyli przekładając to na „zwykły” język, jeśli chcemy, by \(\displaystyle{ 2x+4}\) było podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\), to \(\displaystyle{ x}\) musi przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 5}\) dawać resztę \(\displaystyle{ 3}\), czyli \(\displaystyle{ x=3,8,13,18,23,28,…}\)

Jeśli chodzi o układ równań to wskazówka była taka że \(\displaystyle{ 4y\equiv-y \pmod 5}\), dlatego że \(\displaystyle{ 4\equiv-1 \pmod 5}\). Tak samo \(\displaystyle{ 4x\equiv-x \pmod 5}\). Stąd:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-y\equiv1 \pmod 5 \\ -x+y\equiv2 \pmod 5 \end{cases} \\
2x\equiv3 \pmod 5 \\
2x\equiv-2 \pmod 5 \\
x\equiv-1\equiv4 \pmod 5}\)

Podstawiwszy np. do pierwszego równania mamy:

\(\displaystyle{ 3\cdot4+4y\equiv1 \pmod 5 \\
4y\equiv1-2\equiv-1\equiv4 \pmod 5 \\
y\equiv1 \pmod 5}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ x,y}\) do układu równań wychodzi:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 16\equiv1\pmod5\\ 17\equiv2\pmod5 \end{cases}}\)

co jest oczywiście prawdą.