Funkcje, rzuty.

[Bartek93klm]

Witam mam problem z zrozumieniem zapisu:

Wykazać że dla \(\displaystyle{ D \subset domf}\)

\(\displaystyle{ f(D)= \pi _{B}( \pi^{-1}_{A}(D) \cap f)}\)

Rozwiązuję to tak że najpierw próbuje określić jakim zbiorem jest \(\displaystyle{ S=\{\pi^{-1}_{A}(D) \cap f\}}\), znajdując go, łatwo już wykazać że \(\displaystyle{ f(D)}\) to inaczej rzut \(\displaystyle{ \pi_{B}(S)}\). Mój problem polega na tym bo nie za bardzo rozumiem na czym polega przecięcie funkcji \(\displaystyle{ f}\) z rzutem \(\displaystyle{ \pi^{-1}_{A}(D)}\),

\(\displaystyle{ \pi^{-1}_{A}(D)=D \times B}\)

Czyli \(\displaystyle{ S=(D \times B) \cap f}\), jak mam to rozumieć? Czy \(\displaystyle{ S}\) mówiąc obrazowo to po prostu wykres funkcji częściowej \(\displaystyle{ f: D \rightharpoonup B}\), gdzie \(\displaystyle{ D \subset domf}\)?

[Mistrz]

Nie napisałeś pewnej ważnej rzeczy, ale chyba dobrze się domyślam, że \(\displaystyle{ f: A \to B}\) oraz \(\displaystyle{ \hbox{dom} f = A}\) oznacza dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f}\)? Natomiast dla \(\displaystyle{ S\subseteq A \times B}\) mamy \(\displaystyle{ \pi_A(S) = \{a \in A: (a,b) \in S \}}\) i analogicznie \(\displaystyle{ \pi_B}\)? Jeśli tak, to myślę że poradzisz sobie, jak przypomnę Ci definicję funkcji:
Funkcją \(\displaystyle{ f:A\to B}\) nazywamy taki podzbiór \(\displaystyle{ f \subseteq A \times B}\), że \(\displaystyle{ \forall_{a \in A} \exists !_{b \in B}: (a,b) \in f}\).
Tak, zbiór \(\displaystyle{ (D\times B) \cap f}\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) obcięta do \(\displaystyle{ D}\).

[Bartek93klm]

Proszę jeszcze o weryfikację poniższego rozwiązania:

Zadanie 1)

Udowodnić, że \(\displaystyle{ S=f ^{-1}(f(D)) \supset D, \forall_{ D \subset domf} , f(domA)=B}\) oraz stwierdzić jaką własność powinna mieć \(\displaystyle{ f}\) (relacja \(\displaystyle{ f}\) to funkcja), aby otrzymać \(\displaystyle{ "="}\) we wzorze.

Zaczynam od "rozpisania" czym jest \(\displaystyle{ f^{-1}(f(D))}\):

\(\displaystyle{ f^{-1}(f(D))=\{a \in domf | f(a) \in f(D)\}}\)

Określmy teraz czym jest \(\displaystyle{ f(D)}\):

\(\displaystyle{ f(D)=\{b\in B | \exists_{a \in D} (a,b) \in f\}}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ f^{-1}(f(D))=\{a \in domf | f(a) \in \{b\in B | \exists_{a \in D} (a,b) \in f\}\}=S}\)

(*) Aby wykazać że \(\displaystyle{ D \subset S}\) można np. zauważyć że \(\displaystyle{ f^{-1}(f(D))}\) to iaczej złożenie funkcji \(\displaystyle{ f^{-1} \circ f}\), (nie mamy jednak że relacja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją iniektywną) zatem złożenie \(\displaystyle{ f^{-1} \circ f \neq id_{x}}\). Co oznacza że po takim złożeniu niekoniecznie otrzymamy zbiór \(\displaystyle{ D}\) gdyż w zbiorze \(\displaystyle{ S}\) mogły się pojawić \(\displaystyle{ " x' "}\) takie że\(\displaystyle{ f(x)=f(x')}\)

A co do drugiej częsci zadania to już stwierdziliśmy że aby \(\displaystyle{ S=D}\) to \(\displaystyle{ f^{-1} \circ f = id_{x}}\), a zatem funkcja \(\displaystyle{ f}\) powinna byś iniektywna.

Byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś w sposób bardziej zwięzły wykazał (*), gdyż mój komentarz nie jest zbyt elegenacki, jeśli się da prosciej to bardzo proszę o odpowiedź, z góry dzięki

[Mistrz]

Słabo. Ten akapit z * niczego nie wyjaśnia, zwłaszcza że \(\displaystyle{ f^{-1}}\) niekoniecznie istnieje. Powinieneś raczej dalej pociągnąć tę równość z linijki wyżej:
\(\displaystyle{ f^{-1}(f(D)) = \{a \in A: f(a) \in \{b \in B: \exists_{d \in D} (d,b) \in f\}\} = \\ = \{ a \in A: \exists_{d\in D}(d,f(a)) \in f\}}\)
i stąd już widać, że jak weźmiesz \(\displaystyle{ x\in D}\) to \(\displaystyle{ (x,f(x)) \in f}\) i stąd \(\displaystyle{ x}\) należy również do tego zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}(f(D))}\), zatem \(\displaystyle{ D\subseteq f^{-1}(f(D))}\).