Wzór Lagrange'a.

[sprd123]

Witam!

Mam problem z owym dowodem:

\(\displaystyle{ a \times b \times c = b(a\circ c) - c(a\circ b)}\)

, gdzie \(\displaystyle{ \times}\) - jest iloczynem wektorowym a \(\displaystyle{ \circ}\) - iloczynem skalarnym.

Jest to dla mnie zagadnienie troche nie zrozumiałe, gdyż nie rozumiem jak iloczyn wektorowy może równać się iloczynowi skalarnemu. Przecież wynikiem iloczynu wektorowego jest wektor a skalarnego skalar czyli liczba.

Nie rozumiem też jak można mnożyć np. \(\displaystyle{ b(a\circ c)}\) , przecież jak pomnożę \(\displaystyle{ a\circ c}\) skalarnie to otrzymam liczbę. I jak to pomnożyć przez \(\displaystyle{ b}\) ? każdą składową \(\displaystyle{ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}}\)wektora \(\displaystyle{ b}\) przez wynik \(\displaystyle{ (a\circ c)}\)?

Znalazłem informację o tym w internecie, niestety nie w naszym ojczystym języku:

... le_product

Proszę o pomoc, gdyż mam tydzień na udowodnienie tego a kompletnie niewiem nawet jak zacząć.

Pozdrawiam!

Liczę na pomoc i proszę o ewentualne przekierowanie postu jeżeli trafiłem w nie ten dział.

[pyzol]

Nie rozumiem też jak można mnożyć np. \(\displaystyle{ b(a\circ c)}\) , przecież jak pomnożę \(\displaystyle{ a\circ c}\) skalarnie to otrzymam liczbę. I jak to pomnożyć przez \(\displaystyle{ b}\) ?

np. tak:
\(\displaystyle{ [1,2]([1,1]\circ [3,0])=[1,2]\cdot 3=(3,6)}\)

Przecież wynikiem iloczynu wektorowego jest wektor a skalarnego skalar czyli liczba.

Tu masz różnicę dwóch wektorów pomnożonych przez jakieś tam liczby.

[sprd123]

ok, tą część zrozumiałem. Nie wiedziałem, że tak sie robi.

Ale chodzi mi o to, że jak tę lewą stronę równania zrobię i pomnożę wektorowo to mi wyjdzie wektor z wyznacznika ijk. a po prawej stronie będzie liczba.

Więc jak zrobić, żeby to się równało?

[pyzol]

Tu masz różnicę dwóch wektorów pomnożonych przez jakieś tam liczby.

Więc masz wektor. Cyba czas zacząć rozpisywać...

[sprd123]

Wyszło mi, że:

\(\displaystyle{ a\times b\times c = 78i + 6j + 18k}\)

a:

\(\displaystyle{ b(a\circ c) - c(a\circ b) = ( -24,-6,12)}\)

dla wektorów:

\(\displaystyle{ a = i,2j,3k,\; b = 4i , 5j , 6k ,\; c = 7i, 8j, 9k}\)

[pyzol]

Pierwsze, źle policzyłeś. Nie wiem gdzie popełniłeś błąd.
Natomiast by udowodnić, musimy to obliczyć dla dowolnych liczb.
\(\displaystyle{ \vec{a}=[a_1 ,a_2 ,a_3]\\
\vec{b}=[b_1 ,b_2 ,b_3]\\
\vec{c}=[c_1,c_2,c_3]}\).

[sprd123]

Pyzol -

czyli mogę przyjąć, za \(\displaystyle{ a= i+2j+3k}\) za \(\displaystyle{ b = 4i + 5j + 6k}\) a za \(\displaystyle{ c = 7i + 8j + 9k}\)?

I po prostu liczyć tak?

Prawą strone z wyznacznika a lewą skalarnie tak? I ma mi wyjść to samo?

I jeszcze jedno. Jak patrze na to co mi wysłałeś to oni wektorowo mnożą \(\displaystyle{ b\times c}\) a potem ten wektor co wyjdzie \(\displaystyle{ \times a}\)

a ja robiłem \(\displaystyle{ a\times b}\) a potem to co mi wyszło \(\displaystyle{ \times c}\).

Czy tak nie mogę robić? Bo iloczyn wektorowy nie jest przemienny ale jak jest w tym wypadku? Może nie ma różnicy czy \(\displaystyle{ (a\times b)\times c}\)czy \(\displaystyle{ a\times (b\times c)}\) ?

[pyzol]

Nie możesz tak robić. Masz wziąć dowolne liczby. Więc:
\(\displaystyle{ a=a_1 i +a_2 j +a_3 k}\).
Nie jest przemienny i nie jest też łączny, tam jest dokładnie napisane, które działania masz dokładnie wykonać.

[sprd123]

No niestety ja tego wogle nie rozumiem co tam jest napisane.

Niewiem jak oni tę pierwszą składową rozpisują. Mógłbyś mi napisać jak ja muszę dokładnie to robić?

Ja zawsze jak mnożyłem wektorowo to rozpisywałem to wyznacznikiem 3x3. w pierwszym wersie ijk w drugim wsp. wektora a a w 3 wsp. wektora b i mnozeylem na krzyz i mi wychodziło dobrze. A tu oni maja jakies dziwne rzeczy ani wersorów ani niczego. Nic nie kumam. Niewiem jak nawet utworzyc z tego wyznacznik.-- 1 lis 2012, o 00:35 --Albo inaczej powiem. Myśmy jak do tej pory na zajęciach mnozyli wektorowo wyznacznikiem z wersorami ijk rozwinięciem laplasem.

Żadne inne metody mnożenia wektorowego nie są mi znane. Stąd może być mój problem ze zrozumieniem tego. Proszę o nakierowanie mnie.

[pyzol]

To masz tam tę metodę jako Mnemotechniki.
Lecisz niżej masz wzór Lagrange'a , masz dowód. Ja nie będę go przepisywał z Wikipedii. Możesz ewentualnie rozpisać ładnie, zaczynając:
\(\displaystyle{ \vec{b} \times \vec{c} =\left|\begin{array}{ccc}
b_1&b_2&b_3\\
c_1&c_2&c_3\\
i & j & k
\end{array}\right|=...}\) .

[sprd123]

Słuchaj.

Pomnożyłem wyznacznikowo sobie \(\displaystyle{ B \times C}\)a następnie to co wyszło \(\displaystyle{ \times A}\)

i wyszło mi
\(\displaystyle{ (a_{2}(b_{1}c_{2} - b_{2}c_{1}) -a_{3}(b_{3}c_{1} -b_{1}c_{3})) ; \\
(a_{3}(b_{2}c_{3} - b_{3}c_{2}) - a_{1}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})); \\
(a_{1}(b_{3}c_{1} -b_{1}c_{3}) - a_{2}(b_{2}c_{3} -b_{3}c_{2}));}\)

I czy z tym coś mogę zrobić?

Co do tych defów z wiki. Ja naprawdę kilka dni próbuję to skumać i dalej niewiem nic. Serio próbuję. Ale tam jest to jakoś mega poskracane, tak, że nie mogę do tego dojść...

Tam oczywiście w nawiasach w połowie odpowiednio są minusy ale coś mi się nie chcą wyświetlić

Zauważyłem również, że wyszło mi 1/2 składowej która jest opisana na wiki. natomiast po znaku = juz mi nic mojego wyliczenia nie przypomina

[pyzol]

Zobacz tam wzór Lagrange'a dowód, jest napisane:

Pierwsza składowa \(\displaystyle{ a\times (b\times c)}\) jest dana jako

Zauważ, że ta pierwsza składowa zgadza się z tym co Ty wyliczyłeś.
Teraz możesz zrobić tam kilka przekształceń, tak jak tam jest pokazane. Tzn. wymnożyć wszystko, dodać i odjąć w pierwszym przypadku \(\displaystyle{ a_1 b_1 c_1}\)...
Łatwiejszym dla Ciebie jednak będzie jeśli tylko wszystko wymnożysz.
A następnie policzysz prawą stronę czyli:
\(\displaystyle{ b(a\cdot c)-c(a\cdot b)}\).

[sprd123]

ok. ale jeszcze tak:

mam to robić na każdej składowej pojedyńczo? mnożyć?

[pyzol]

Czemu pojedynczo możesz od razu:
\(\displaystyle{ =b(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)-c(a_1b_1+a_2b_2+a_3c_3)=\\
=\left[\begin{array}{c}
b_1(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)\\
b_2(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)\\
b_3(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)
\end{array} \right]-
\left[\begin{array}{c}
c_1(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)\\
c_2(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)\\
c_3(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)
\end{array} \right]=\cdots}\)

[sprd123]

"Łatwiejszym dla Ciebie jednak będzie jeśli tylko wszystko wymnożysz. "

a to to miałeś na myśli lewą czy prawdą stronę?-- 1 lis 2012, o 13:31 --Jak mam na wiki tę pierwszą składową, to niewiem skąd oni wzieli to co jest po znaku =, możesz mi to może wyjaśnić