wyznacznik pare pytań

[Kamilwit]

mamy wyznacznik

\(\displaystyle{ det A \begin{vmatrix} a \ 1 \ 1 \ \\ 1 \ a \ 1 \ \\ 1 \ 1 \ a \\ \end{vmatrix} \ = a^3 - 3a + 2}\)
licząc z reguły sarrusa.

ale załóżmy, że nie policzymy z reg.S. tylko dokonamy operacji elementarnych:


\(\displaystyle{ det A \begin{vmatrix} a \ 1 \ 1 \ \\ 1 \ a \ 1 \ \\ 1 \ 1 \ a \\ \end{vmatrix} \ \to_{w_1 - w_3} \begin{vmatrix} a -1 \ 0 \ 1-a \ \\ 1 \ a \ 1 \ \\ 1 \ 1 \ a \\ \end{vmatrix} \ \to_{}\)

dobra generalnie tutaj pojawia się pierwsze pytanie czy możemy wykonać dwie operację w tym samym czasie, tj.
\(\displaystyle{ w_2 - w_3 , \ w_3 - w_2}\)
bo jak widzimy wtedy na początku 2 i 3 wersu mamy 0 .
czyli to byłoby:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a -1 , \ 0, \ 1-a , \ \\ 1 \ a \ 1 \ \\ 1 \ 1 \ a \\ \end{vmatrix} \ \to_{w_2 - w_3 , w_3 - w_2 } \begin{vmatrix} a -1 , \ 0, \ 1-a , \ \\ 0, \ a-1, \ 1-a \ \\ 0, \ 1-a, \ a-1 \\ \end{vmatrix} \ \to_{k_2 + k_3 , k_3 + k_2 }}\)
teraz równoległe dodamy 2 kolumnę z 3
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a -1 , \ 1-a, \ 1-a , \ \\ 1 \ 0 \ 0 \ \\ 1 \ 0 \ 0 \\ \end{vmatrix} \ \to_{w_2 - w_3 , w_3 - w_2 }}\)
teraz kolejne pytanie
czy mozna od \(\displaystyle{ w_2 - w_3 , w_3 - w_2}\) ? zakładam, że nie.
usunmy zatem 3 wers , i dodajmy 3 kolumne do 1.
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 0 , \ 1-a, \ 1-a , \ \\ 1 \ 0 \ 0 \ \\ \end{vmatrix}}\)
czyli jakbym odjal od 2 wersu wers 1, nastepnie dodal rownolegle oba zastolobymi cos takiego
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 2 , \ 0, \ 0 , \ \\ 1 \ 0 \ 0 \ \\ \end{vmatrix}}\)

stąd wnioskuje, ze nie mozna tak robic ?
i pytanie dlaczego ?
poza tym, inne pytanie, dzialajac pojedynczo na kolumnach tj
\(\displaystyle{ w_1 - w_3 ; w_1 + w_3 ; k_2 + k_3 ; k_1 + k_2}\)
gdzie ; odziela nastepny krok
otrzymałem
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 0 , \ 1-a, \ 0 , \ \\ a+2 , \ a+1,\ 1 \ \\ 0 \ 0 \ a-1 \\ \end{vmatrix}}\)

chyba się nie pomyliłem, i jak widać z sarrusa mamy teraz wyznacznik równy \(\displaystyle{ 0}\) i jest to błąd, bo powinien on być zależny od parametru \(\displaystyle{ a \in R}\)
pozdrawiam, i liczę na odpowiedź

[miodzio1988]

chyba się nie pomyliłem, i jak widać z sarrusa mamy teraz wyznacznik równy 0 i jest to błąd

Nie sprawdzam, ale wyznacznik tej ostatniej macierzy zależy jednak od parametru \(\displaystyle{ a}\). Z rozwinięcia Laplace'a to widać

[Kamilwit]

hm w takim razie czy rozwinięcie sarrusa dla tego ostatniego wygląda tak , czy też nie ?
:

\(\displaystyle{ 0 \ \cdot \ ( a-1) \ \cdot \ (a+1 ) + (1-a)\ \cdot \ 1 \ \cdot \ 0 + 0 \ \cdot \ (a+2) \ \cdot \ 0 - ( 1-a)\ \cdot \ (a+2) \ \cdot \ ( a-1) + 0 + 0 )}\)
faktycznie . \(\displaystyle{ = (a-1)(a-1)(a+2)}\)
czyli wersji wyjściowej i wtej sytuacji się zgadza, czyli działając pojedyńczo na kolumnach/wierszach.
to pozostała kwestia działania równoległego.

[miodzio1988]

hm w takim razie czy rozwinięcie sarrusa dla tego ostatniego wygląda tak , czy też nie ?

Jest to na tyle elementarna metoda( wymagająca mnożenia i dodawania), że powinieneś na takie pytania sam sobie odpowiadać.

to pozostała kwestia działania równoległego.

Jak widać, takiego działania nie należy stosować

[Kamilwit]

pytanie brzmi:
dlaczego.?
z czego to wynika.?
nie wystarczy mi odpowiedź typu " nie można, bo nie "

[miodzio1988]

Nie można, bo Ci bzdury wychodzą. A taka odpowiedź?

[Kamilwit]

hm, nie.

bardziej chodziło mi o jakieś uogólnienie dla \(\displaystyle{ n}\)

przykładowo
\(\displaystyle{ \begin{cases} \\ a+2 = 2 \\ a+2 = 2 \end{cases}}\)
równolegle odejmując \(\displaystyle{ w_1 - w_2 ; \ w_2 - w_1}\)
otrzymujemy po prostu
\(\displaystyle{ 0 = 0}\)
a nie sprzeczność. ;x

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+1 = 1 \\ a+3 = 3 \end{cases}}\)

A jak tak sobie równolegle odejmiesz to co się stanie?

[Kamilwit]

wyjdzie
\(\displaystyle{ w_1 = -2 = -2 \\
w_2 = 2 = 2}\)
zatem .. ?
obie to prawda ;x.

[miodzio1988]

No jaki z tego wniosek?

[Kamilwit]

skoro oba zdania są prawdziwe, to jaki może być z tego wniosek ;x ?
dodaj sobie stronami \(\displaystyle{ w_1 i w_2}\) i znowu masz jak w 1.
\(\displaystyle{ 0 = 0}\) ; d
identycznie..

[miodzio1988]

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań Twoim zdaniem? Wskaż mi \(\displaystyle{ 10}\)

[Kamilwit]

no dobra przekonałeś mnie , dzięki za pomoc