2 nierówności wykładnicze i jedna logarytmiczna

[Adasco]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu równań i nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ e^{x}-1}< \frac{1}{ e^{2x}+1 } \\ \\
\ln x+ \frac{1}{\ln x}>0 \\ \\
\log _{2} \left( x^{2}-6 \right) = 3+ \log _{2} \left( x-1 \right)}\)

[777Lolek]

\(\displaystyle{ \ln x+ \frac{1}{\ln x}>0 \ D=?\\
\ln x + \frac{1}{\ln x} > 0 |\cdot (\ln x)^2\\
\ln^3 x + \ln x > 0\\
\ln x(\ln^2 x + 1) > 0\\
x \in \ ?}\)

\(\displaystyle{ \log _{2} \left( x^{2}-6 \right) = 3+ \log _{2} \left( x-1 \right) \ D=? \\
\log_{2} \frac{x^2-6}{x-1} = 3\\
\log_{a} b = c \Leftrightarrow a^c = b}\)

[Piotrekkk]

\(\displaystyle{ \frac{1}{ e^{x}-1}< \frac{1}{ e^{2x}+1 }}\)

Założenia: \(\displaystyle{ e^x-1\neq 0}\) i \(\displaystyle{ e^{2x}+1 \neq 0}\), drugie jest zawsze spełnione, zatem \(\displaystyle{ e^x\neq 1}\), czyli \(\displaystyle{ x\neq 0}\).

Teraz trzeba domnożyć stronami \(\displaystyle{ ( e^{x}-1)^2(e^{2x}+1)^2}\)
\(\displaystyle{ (e^{2x}+1 )^2( e^{x}-1)< (e^x -1)^2(e^{2x}+1)}\)
Podstawienie: \(\displaystyle{ e^x=t, \quad t>0}\).
\(\displaystyle{ (t^2+1)^2(t-1)<(t-1)^2(t^2+1)}\)
\(\displaystyle{ (t^2+1)^2(t-1)-(t-1)^2(t^2+1)<0}\)
\(\displaystyle{ (t^2+1)(t-1)[(t^2+1)-(t-1)]<0}\)
\(\displaystyle{ (t^2+1)(t-1)[t^2-t+2]<0}\)
czyli \(\displaystyle{ t<1}\)
ale \(\displaystyle{ t>0}\), czyli \(\displaystyle{ t \in (0,1)}\),
zatem \(\displaystyle{ 0 <e^x <1}\), czyli \(\displaystyle{ x\in (-\infty, 0)}\) (założenie widać, że jest spełnione)