Zapisz wyrażenie w najprostszej postaci

[marzenanowak]

Wykonaj działania i zapisz wyrażenie w najprostszej postaci:
1) \(\displaystyle{ \frac{x}{x+3} - \frac{1}{x-1} + x =}\)
2) \(\displaystyle{ \frac{3x+2}{x^{2} - 16} : \frac{9x^{2}+12+4}{x+4}}\)

Czy wynik pierwszego działania to : \(\displaystyle{ \frac{ x^{2}(x-3)-5x+3 }{(x+3)(x-1)}}\) ?

[mmoonniiaa]

1) Sprowadź do wspólnego mianownika, którym będzie iloczyn: \(\displaystyle{ \left( x+3\right)\left( x-1\right)}\)
2) Zauważ, że w mianowniku pierwszego ułamka i w liczniku drugiego ułamka da się zastosować wzory skróconego mnożenia. Po za tym, dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.

[agulka1987]

2) \(\displaystyle{ \frac{3x+2}{x^{2} - 16} : \frac{9x^{2}+12+4}{x+4}}\)

\(\displaystyle{ =\frac{3x+2}{(x-4)(x+4)} \cdot \frac{x+4}{(3x+2)^2} = \frac{1}{(x-4)(3x+2)}}\)

[marzenanowak]

Żeby nie zakładać nowego tematu, podobne działanie ( również na wielomianach). Tym razem jest to równanie, a mi wychodzą dwa różne rozwiązania, w zależności jak do niego "podejdę".

\(\displaystyle{ \frac{5}{2x+1} - \frac{3}{2x-1} =0}\)

[mmoonniiaa]

Pierwsze działanie źle Ci wyszło. Zły mianownik masz. Pokaż kolejne przekształcenia.
Powinnaś zacząć tak:
\(\displaystyle{ \frac{x \red \left( x-1\right) }{\left( x+3\right) \red \left( x-1\right) } - \frac{\red \left( x+3\right) }{\red \left( x+3\right) \black \left( x-1\right) } + \frac{x \red \left( x+3\right) \left( x-1\right)}{\red \left( x+3\right) \left( x-1\right)} =...}\)
Teraz możesz zapisać na wspólnej kresce ułamkowej.

Kolejny przykład, o którym piszesz: \(\displaystyle{ \frac{5}{2x+1} - \frac{3}{2x-1} =0}\)
Najpierw wyznacz dziedzinę, następnie przerzuć na prawą stronę:
\(\displaystyle{ \frac{5}{2x+1} = \frac{3}{2x-1}}\)
i wymnóż na krzyż.
Jakie Ci wyniki wychodzą?

[marzenanowak]

A oprócz mianownika jest jakiś błąd czy tylko to? Bo źle go akurat z rozpędu teraz przepisałam

Równanie: po wyznaczeniu dziedziny, chciałam pomnożyć obustronnie przez \(\displaystyle{ 2x-1}\) lub \(\displaystyle{ 2x+1}\), potem na krzyż. Dlatego raz wychodzi \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{2}{3} }}\) lub \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{4}{5} }}\), a jaki powinien być poprawny wynik?

[mmoonniiaa]

A oprócz mianownika jest jakiś błąd czy tylko to? Bo źle go akurat z rozpędu teraz przepisałam

To znaczy jak ten przykład ma wyglądać? Bo nie wiem, który mianownik jest źle przepisany. Wtedy będę mogła sprawdzić Twoją odpowiedź.

Równanie: po wyznaczeniu dziedziny, chciałam pomnożyć obustronnie przez \(\displaystyle{ 2x-1}\) lub \(\displaystyle{ 2x+1}\), potem na krzyż.

To znaczy jak już pomnożysz obustronnie przez \(\displaystyle{ 2x-1}\), a następnie przez \(\displaystyle{ 2x+1}\), to już nie będzie potrzeby mnożyć na krzyż, bo ułamki znikną. Powinnaś po tych operacjach otrzymać: \(\displaystyle{ 5\left( 2x-1\right)-3\left( 2x+1\right)=0}\)

Dlatego raz wychodzi \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{2}{3} }}\) lub \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{4}{5} }}\)

Powinno wyjść tylko i wyłącznie \(\displaystyle{ x=2}\).

[marzenanowak]

Ten edytowany wynik w pierwszym poście (bo już poprawiłam) jest poprawny?

[anna_]

Niestety masz gdzieś błąd.

Poza tym powinnaś w liczniku opuścić nawiasy i poredukować wyrazy podobne. Potem (o ile się da) rozłożyć licznik na czynniki i sprawdzić czy da się coś skrócić.

[marzenanowak]

Wszystko już jest po redukcji, ale wpakowane w nawiasy, bo każdy wielomian można uprościć do drugiego stopnia. Jaki zatem powinien być wynik w tym zadaniu?

[anna_]

Pokaż obliczenia, poszukam błędu.
Ja bym tego nawiasu jednak się pozbyła.

[marzenanowak]

\(\displaystyle{ \frac{x}{x+3} - \frac{1}{x-1} + x = \frac{x \left( x-1\right) }{\left( x+3\right) \left( x-1\right) } - \frac{ \left( x+3\right) }{ \left( x+3\right) \black \left( x-1\right) } + \frac{x \left( x+3\right) \left( x-1\right)}{\left( x+3\right) \left( x-1\right)} = \frac{ x^{2}-x-x-3+(x ^{2}+3x) (x-1) }{(x+3)(x-1)} = \frac{ x^{2}-2x-3+ x^{3}-x^{2}+3x^{2}-3x}{(x+3)(x-1)}=\frac{ x^{2}(x-3)-5x+3 }{(x+3)(x-1)}}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ \frac{ x^{2}-2x-3+ x^{3}-x^{2}+3x^{2}-3x}{(x+3)(x-1)}=\frac{x^3 \red+ \black 3x^2 - 5x \red- \black3}{(x+3)(x-1)}}\)