Udowodnić że jest grupą abelowa

[karolinaa1231]

Proszę o pomoc z następującym zadaniem:

Niech n ∈ N. Udowodnić, że zbiór \(\displaystyle{ Z_{n}}\) wraz z dodawaniem modulo n \(\displaystyle{ {n\choose +}}\) tworzy grupę abelową.

Dziekuje.

[Althorion]

Z czym konkretnie masz problem? Nie znasz cech wyznaczających grupę? Nie radzisz sobie z wykazaniem którejś z nich?

[karolinaa1231]

Cechy znam, tylko, że modulo mnie przeraza bo nie robilismy zad z modulo;/

[Kanodelo]

1. łączność
korzystam z tego że \(\displaystyle{ (x)_n=(y)_n \Leftrightarrow n|(x-y)}\), oraz \(\displaystyle{ n|(x-(x)_n)}\)
\(\displaystyle{ (a+_n b)+_n c=(a+b)_n+_n c=\left( (a+b)_n+c\right)_n \\
a+_n (b+_n c)=a+_n (b+c)_n=\left( a+(b+c)_n\right)_n}\)
teraz sprawdzam, czy obie strony są równe:
\(\displaystyle{ \left( (a+b)_n+c\right)_n \stackrel{???}=\left( a+(b+c)_n\right)_n}\)
gdyby tak było to musi być \(\displaystyle{ n|\left[ (a+b)_n+c-(a+(b+c)_n)\right]}\)
\(\displaystyle{ n|\left[ (a+b)_n-a-b -(b+c)_n+b+c\right] \\
n|\left[ (b+c-a-b)-(b+c)_n+(a+b)_n\right]}\)
czyli to prawda, bo \(\displaystyle{ n|(x-(x)_n)}\)

2. element neutralny
szukamy takiego \(\displaystyle{ e}\), że \(\displaystyle{ a+_n e=(a+e)_n=(a)_n}\)
jeżeli \(\displaystyle{ (a+e)_n=(a)_n}\) to \(\displaystyle{ e=0}\)

3. element odwrotny
szukamy takiego \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ a+_n b=(a+b)_n=e=0}\)
jeżeli \(\displaystyle{ (a+b)_n=0}\) to \(\displaystyle{ b=-a}\)
ale to nie jest jedyny przypadek, bo żeby reszta z dzielenia sumy dwóch liczb dała 0, to druga musi być sumą przeciwnej liczby do tej pierwszej i wielokrotności tej liczby, przez którą to dzielimy
np
\(\displaystyle{ (a+(-a))_5=0 \\ (a+(-a)+5)_5=0 \\ (a+(-a)+10)_5=0 \\ ... ...}\)
czyli \(\displaystyle{ b=-a+kn}\) gdzie \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\)

4. przemienność
działanie jest przemienna ponieważ
\(\displaystyle{ a+_n b=(a+b)_n=(b+a)_n=b+_n a}\)

mam nadzieje że dobrze

[Vardamir]

Według mnie, źle jest wyznaczony element odwrotny. Element odwrotny w grupie jest wyznaczony jednoznacznie.

Wiemy ponadto, że zbiór \(\displaystyle{ \ZZ_{n} = \left\{ 0,1,\dots ,n-1\right\}}\)

Zatem według tego co napisałeś elementem odwrotnym do powiedzmy \(\displaystyle{ 5}\) dowolnej grupie to np. \(\displaystyle{ -5}\) które nawet nie należy do zbioru \(\displaystyle{ \ZZ_{n}}\).

Element odwrotny ma spełniać:

\(\displaystyle{ (a+a^{-1})_{n}=0}\)

Kiedy liczba \(\displaystyle{ n|a+a^{-1}}\) ?

Wtedy gdy ta suma jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\). Zauważmy więc, że
\(\displaystyle{ a^{-1}=n-a}\)

[Kanodelo]

Też tak myślałem na początku, ale warunek \(\displaystyle{ (a+b)_n=0}\) spełnia nie tylko \(\displaystyle{ b=n-a}\), ale też np \(\displaystyle{ b=2n-a, b=3n-a...}\) Reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 2n}\) albo \(\displaystyle{ 3n}\) przez n też daje 0.

[Vardamir]

Element odwrotny w grupie jest wyznaczony jednoznacznie.

Dla podanego przez Ciebie rozumowania elementem przeciwnym do \(\displaystyle{ 2}\) w grupie \(\displaystyle{ \ZZ_{4}}\) jest np. \(\displaystyle{ 2\cdot 4-2=6}\)

Ale \(\displaystyle{ 6 \not \in \ZZ_{4}}\)

[Kanodelo]

Ale czemu masz tam mnożenie? Przecież w zadaniu mamy dodawanie, więc \(\displaystyle{ 2+4-2=4}\) i reszta z dzielenia liczby 4 przez 4 daje 0

[Vardamir]

Ale czemu masz tam mnożenie? Przecież w zadaniu mamy dodawanie, więc \(\displaystyle{ 2+4-2=4}\) i reszta z dzielenia liczby 4 przez 4 daje 0

Tylko, że \(\displaystyle{ 4 \not \in \ZZ_{4}}\) !

Poza tym powtarzam: element odwrotny w grupie jest wyznaczony jednoznacznie.

[Kanodelo]

Ale przecież \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_n}\) to zbiór reszt z dzielenia przez n, wiadomo że n nie należy do tego zbioru, ale reszta z dzielenia n przez n, która wynosi 0, już należy. Tylko co to ma za znaczenie.

[Vardamir]

Ma takie znaczenie, że definicja elementu odwrotnego mówi:

\(\displaystyle{ \bigwedge_{a\in G } \bigvee_{b\in G } ab=ba=e}\)

Zatem element odwrotny musi należeć do G.

[Kanodelo]

Dobra, już wiem o co chodzi... Dla \(\displaystyle{ n=5,a=4}\) jeżeli elementem odwrotnym jest \(\displaystyle{ n-a}\), to \(\displaystyle{ (4+5-4)_5=0}\) i \(\displaystyle{ b=5-4\in G}\)
ale dla \(\displaystyle{ n=10,a=4}\) jest \(\displaystyle{ (4+10-4)_5=0}\) i \(\displaystyle{ b=10-4=6\notin G}\)
dlatego to się nie sprawdza, w takim razie przyznaje Ci rację, sorry za zawracanie głowy