VIII edycja OMG

[profesor07]

Jak myślicie, ile punktów z zadań korespondencyjnych musiałbym zdobyć, aby przejść do 2. etapu? Z części testowej mam 11. Pierwszy raz biorę w tym udział, nie wiem jakie były progi w poprzednim roku.

Ze statystyk jakie zostały umieszczone po zeszłorocznej edycji na stronie OMG, można wykoncypować, że w zeszłym musiało wystarczyć ok. 3 zadań z korespondencyjnej.

[ElEski]

Mi wychodzi 14

paulina9612,

To jest kosmos.


WesolyPierozek,
Jak masz 11 z testowej, to chyba zrobić 5 zadań nie jest problemem? (5 to chyba bezpieczna granica)

[WesolyPierozek]

A czy pamięta ktoś ile miał punktów z obu części łącznie w zeszłym roku i czy wystarczyła ona na 2. etap?

[soulforged]

Ok, już można pisać odpowiedzi, jakie mieliście? Nie chcę zaczynać, ale jak ktoś napisze jako pierwszy to z chęcią podam swoje.

[chomikchomik]

moje rozwiązania, w mocnym skrócie
pierwsze

Ukryta treść:    

wystarczyło wykazać, że każde dwie kolejne liczby postaci \(\displaystyle{ n^{4x+1}}\) przystają do sb modulo 10; trzeba było je odjąć i skorzystać z małego twierdzenia fermata dla 5

drugie

Ukryta treść:    

wystarczyło zauważyć, że istnieje taki punkt P na tym odcinku (nie pamiętam, ale było w tezie, że jest równy dwóm innym) że powstają trójkąty równoramienne, dla których te dwusieczne podane w tezie są symetralnymi ich podstaw. z tego z kolei wniosek, że punkt przecięcia dwusiecznych jest wierzchołkiem dwóch trójkątów równoramiennych, których pkt. wspólny to P i stąd już teza. wiem, że chaotycznie, ale nie mam przed sobą tego zadania i nie pamiętam oznaczeń.

trzecie

Ukryta treść:    

ja zrobiłem to dość brzydko. \(\displaystyle{ n=100a+b \wedge n=2ab}\) z tego można wywnioskować, że 2a - 1 jest jakimś dodatnim nieparzystym dzielnikiem 50. czyli trzy przypadki, z czego jeden odpada, bo jest większy od 99

czwarte

Ukryta treść:    

wystarczyło zauważyć, że liczba tańców jest podzielna przez 102. z drugiej strony, liczba tańców każdej królewny nie przekracza 102. zakładając wbrew tezie, że takie dwie królewny nie istnieją otrzymujemy, że różnica liczby tańców między pierwszą a ostatnią królewną (numerując według liczby ich tańców) jest nie mniejsza niż 102. z tego już wniosek, że łączna liczba liczba tańców królewien to 51 razy 103, które nie dzieli się przez 102

piąte

Ukryta treść:    

to było bardzo trudne. takie zadania powinny pojawiać się w finale om, albo i imo. po skomplikowanym pałowaniu pitagorasa otrzymywaliśmy tezę, ale szczerze wątpię, aby ktoś oprócz mnie to zrobił

szóste

Ukryta treść:    

z twierdzenia o odcinkach stycznych do kuli (czapeczki/krasnale stereometryczne) otrzymywaliśmy, że trójkąty ASX, ASY, gdzie X i Y to punkty styczności kuli do ścian ABS i ADS są przystające, a stąd równość kątów. analogicznie z resztą krawędzi i stąd teza.

siódme

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ n ^{3} + 7n = k ^{2} \Leftrightarrow n\left( n ^{2} + 7 \right) = k ^{2}}\) teraz dwa przypadki: 1 \(\displaystyle{ n=y ^{2} \Leftrightarrow n ^{2} + 7 = x ^{2}}\) x i y oczywiście naturalne; 2 \(\displaystyle{ n=ay ^{2} \Leftrightarrow n ^{2} + 7 = ax ^{2}}\) gdzie a NIE jest kwadratem liczby całkowitej. odp. to n=4

-- 30 paź 2012, o 17:52 --w ogóle pierwszy był dość łatwy. nie było właściwie żadnego zadania, które wymagałoby dłuższego zastanowienia. na drugim będzie ciężko

[krzychu27]

Ja zrobiłem piąte z Pitagorasa, ale szło też z podobieństwa trójkątów.

[porfirion]

to było bardzo trudne. takie zadania powinny pojawiać się w finale om, albo i imo. po skomplikowanym pałowaniu pitagorasa otrzymywaliśmy tezę, ale szczerze wątpię, aby ktoś oprócz mnie to zrobił

Panie Chomik... Pan raczy żartować, czy to na poważnie? Bo trudno dociec.
BTW, zadanie 5 to po prostu twierdzenie cosinusów i imo nie powinno być na omg-u, bo jest zbyt znane...

[PKua]

Widzę, że mam podobne rozwiązania do 3x @up, oprócz szóstego... Jakoś je w końcu rozwiązałem, ale wyszły 2 strony -_-. Nie wiem, czy nie znam jakiegoś ważnego twierdzenia z geometrii przestrzennej (których nawet w liceum nie ma za wiele) czy nie zauważyłem jakichś banalnych związków? Najpierw wykazałem, że te trójkąty, o których choimik wspominał, są przystające. Stwierdziłem, że punkty styczności ( leżą na jednaj płaszczyźnie, a dokładniej na okręgu. Przeciąłem płaszczyzną okręgu krawędzie boczne i otrzymałem cztery punkty. Rozpatrywałem teraz ostrosłup powstały po "odcięciu" części położonej pod płaszczyzną. Wskazałem na płaszczyźnie okręgu odpowiednie odcinki o równej długości, a z nich wywnioskowałem podobieństwo trójkątów znajdujących się na ścianach bocznych ostrosłupa. Na tym właściwie się skończył dowód (po zsumowaniu podanych kątów wychodziło to samo). Skomplikowałem to za bardzo?

Jeszcze mam pytanie do zadania 7. Rozwiązanie przypadku \(\displaystyle{ \begin{cases}n=a^2 \\ n^2-7=b^2\end{cases}}\) można było łatwo wyznaczyć, jednak nad \(\displaystyle{ \begin{cases}n=xa^2 \\ n^2-7=xb^2\end{cases}}\) głowiłem się przez jakiś czas, aż w końcu postanowiłem udowodnić, że lewa strona równania nie przystaje do prawej (\(\displaystyle{ 7a^4-b^2=1}\)), choć ładne rozpisanie tego zajęło trochę... Miał ktoś jakiś inny pomysł?

[timon92]

w piątym wystarczy mądrze poprzenosić pola:

Ukryta treść:    

niech \(\displaystyle{ X}\) będzie takim punktem, że czworokąt \(\displaystyle{ ALCX}\) jest równoległobokiem; wtedy także \(\displaystyle{ BKCX}\) jest równoległobokiem

mamy przystawania \(\displaystyle{ \Delta QAB \equiv \Delta ACX}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta NBA \equiv \Delta BCX}\)

poniżej kwadratowe nawiasy oznaczają pole figury

\(\displaystyle{ [AEPQ] + [BDMN] = 2[AQB] + 2[BNA] = 2[ACX] + 2[BCX] = [LAXC] + [BKCX] = [ABKL]}\)

[soulforged]

Czy w trzecim będzie tylko 1352 i 360? Czy coś jeszcze? Czwarte zrobiłem chcąc popisać się zasadą szufladkową Dirichleta, ale widzę, że mam chyba źle. 5 i 6 nie tykałem. Resztę mam podobnie.

[chomikchomik]

krzychu27 - tak, też wykorzystałem podobieństwo. w ogóle nie wiem, dlaczego ktoś mógł potraktować mój wpis dot. zadania 5 poważnie. to był banał na skalę kangura dla przedszkola!
PKua - w 7 zrobiłem to samo, sprawdziłem reszty kwadratu z dzielenia przez 7
soulforged - mi też wyszły tylko te dwie liczby
Na jakie zadania na drugim etapie liczycie? Penie kombinatorka z dirichletem, jakieś plani i stereo, układ równań/nierówność i co?? Trochę strzelam, bo nie mam obycia z olimpiadą.
Boję się stereometrii, bo jak patrzyłem na zadania, to właśnie te zadania były najcięższe. Ktoś może polecić jakieś zadania przestrzenne??-- 31 paź 2012, o 18:05 --zadania

[PKua]

Polecam wszystkim poczytać o kongruencji (przystawaniu) liczb. Jak ostatnio patrzyłem na to, to doszedłem do wniosku, że wszystkie problemy związane z resztami z dzielenia można rozważać o wiele prościej, np. te reszty w 5.

Widzę, że rzeczywiście przekombinowałem w 6, a dokładnie to niepotrzebnie udowadniałem zależności wynikające ze znanych twierdzeń, ale myślę, że nie powinni się czepiać.

PS. Są odpowiedzi -

[chomikchomik]

kurde, 7 mogłem zrobić ładniej. ale w pierwszym przekombinowali, nie chciało mi się nawet wczytywać w te tabelki.

[soulforged]

Czy z 31 pkt dostanę się do 2 etapu? (7 z testowej i 4x6 z korespondencyjnej)

[ElEski]

chomikchomik,
Gdyby 5 było na IMO, to nie zrobiłoby go może kilka osób (takich, co zwykle miałyby 0 punktów). Przecież jeśli kiedykolwiek ktoś widział dowód, lub samo twierdzenie cosinusów, to dla niego piąte jest zerosekundowe ;o

(oby takie zadania z geo na finale OM )