Dowód własności złożenia funkcji

[michas-__]

Witam,

Mam do udowodnienia twierdzenie: Jeżeli funkcja zewnętrzna jest ograniczona, to złożenie jest funkcją ograniczoną.

Niezbyt wiem jak ma wyglądać dowód takiego czegoś, bo to jest raczej oczywiste: jeśli zapisze się funkcję zewnętrzną jako funkcję od argumentu, będącego funkcją wewnętrzną, to widzimy, że przeciwdziedzina funkcji zewnętrznej jest jednocześnie przeciwdziedziną złożenia.

Prosiłbym o wyjaśnienie, jak taki dowód powinien wyglądać i ewentualne skorygowanie błędów w powyższym zapisie moich spostrzeżeń.

[JakimPL]

Skoro funkcja zewnętrzna jest ograniczona, to obrazem jej całej dziedziny \(\displaystyle{ D}\) jest podzbiór pewnego przedziału; \(\displaystyle{ f_{\rm{zew}}(D_1) = S_1}\), \(\displaystyle{ S_1\subseteq [-a,a]}\), dla pewnej liczby \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}_{+}}\). Niech \(\displaystyle{ f_{\rm{wew}}\colon D_2\to S_2}\) gdzie \(\displaystyle{ D_2}\) jest dowolne, jednak \(\displaystyle{ S_2 \subseteq D_1}\). Dalej chyba już łatwo.