Wyrazić całkę przy użyciu szeregu
-
Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Wyrazić całkę przy użyciu szeregu
Całka jest nieoznaczona, niech funkcją pierwotną będzie \(\displaystyle{ F(x)}\). Wtedy (z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego)
\(\displaystyle{ F(x) - F(0) = \int_{0}^{x} \frac{\arctan(t)}{t}\mbox{d} t}\)
Liczbę \(\displaystyle{ F(0)}\) możemy potraktować jako stałą całkowania.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ |x| < 1}\). Wtedy \(\displaystyle{ \arctan(t)}\) rozwija się w znany szereg
\(\displaystyle{ \arctan(t) = t - \frac{t^3}{3} + \ldots (\star)}\)
Z promieniem zbieżności \(\displaystyle{ 1}\). Zatem, również z promieniem \(\displaystyle{ 1}\) mamy szereg
\(\displaystyle{ \frac{\arctan{t}}{t} = 1-\frac{t^2}{3} + \ldots}\).
Szereg ten jest zbieżny jednostajnie na przedziale \(\displaystyle{ [0,x]}\) ponieważ \(\displaystyle{ |x| < 1}\) (bo przedział jest zwarty i wewnątrz obszaru zbieżności). Możemy więc całkować wyraz po wyazie. W ten sposób dostajemy
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x} \frac{\arctan(t)}{t}\mbox{d} t = \int_{0}^{x} \left[ 1-\frac{t^2}{3} +\ldots \right] \mbox{d} t =
\int_{0}^{x} 1 \mbox{d} t - \int_{0}^{x} \frac{t^2}{3} \mbox{d}t + \int\limits_{0}^{x}\ldots =
x-\frac{x^3}{9}+\ldots}\)
i mamy odpowiedź, o ile \(\displaystyle{ |x| < 1}\). Dalsze wyrazy można zapisać wzorkiem, wypisując wzorkiem kolejne wyrazy w \(\displaystyle{ (\star)}\).
Co dla \(\displaystyle{ |x| > 1}\)? Podpowiedź: można skorzystać z wzorów trygonomentrycznych.
\(\displaystyle{ F(x) - F(0) = \int_{0}^{x} \frac{\arctan(t)}{t}\mbox{d} t}\)
Liczbę \(\displaystyle{ F(0)}\) możemy potraktować jako stałą całkowania.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ |x| < 1}\). Wtedy \(\displaystyle{ \arctan(t)}\) rozwija się w znany szereg
\(\displaystyle{ \arctan(t) = t - \frac{t^3}{3} + \ldots (\star)}\)
Z promieniem zbieżności \(\displaystyle{ 1}\). Zatem, również z promieniem \(\displaystyle{ 1}\) mamy szereg
\(\displaystyle{ \frac{\arctan{t}}{t} = 1-\frac{t^2}{3} + \ldots}\).
Szereg ten jest zbieżny jednostajnie na przedziale \(\displaystyle{ [0,x]}\) ponieważ \(\displaystyle{ |x| < 1}\) (bo przedział jest zwarty i wewnątrz obszaru zbieżności). Możemy więc całkować wyraz po wyazie. W ten sposób dostajemy
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x} \frac{\arctan(t)}{t}\mbox{d} t = \int_{0}^{x} \left[ 1-\frac{t^2}{3} +\ldots \right] \mbox{d} t =
\int_{0}^{x} 1 \mbox{d} t - \int_{0}^{x} \frac{t^2}{3} \mbox{d}t + \int\limits_{0}^{x}\ldots =
x-\frac{x^3}{9}+\ldots}\)
i mamy odpowiedź, o ile \(\displaystyle{ |x| < 1}\). Dalsze wyrazy można zapisać wzorkiem, wypisując wzorkiem kolejne wyrazy w \(\displaystyle{ (\star)}\).
Co dla \(\displaystyle{ |x| > 1}\)? Podpowiedź: można skorzystać z wzorów trygonomentrycznych.