Wzór na granice z liczba e.

[Shusheiri]

Robiąc kilka zadań, zauważyłem że granice które dążą do \(\displaystyle{ e ^{x}}\), można liczyć bez najmniejszego problemu używając magicznego wzoru, do którego doszedłem.

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( 1 + \frac{a}{W(n)} \right) ^{P(n)} = e ^{ \lim_{n \to \infty } \frac{a \cdot P(n)}{W(n)} }}\)

Ćwiczeniowiec jednak powiedział, że wzór przeczy prawom matematyki, jednakże bez przygotowania nie potrafi mu zaprzeczyć. Czy byłby ktoś na tyle miły i udowodnił prawdziwość, albo podał przykład, dla którego wzór jest nieprawdziwy?

[Adifek]

No ogólnie jest nieprawdziwy, potrzebne są odpowiednie założenia na \(\displaystyle{ W(n)}\) oraz \(\displaystyle{ P(n)}\).

[Shusheiri]

Nie kwestionuje tego, że jest nieprawdziwy. Chciałbym tylko, żeby ktoś to udowodnił. Bo każda granica tej postaci, jaką do tej pory liczyłem z tego wzoru, była policzona poprawnie.

[Premislav]

A co powiesz na taką sytuację:
\(\displaystyle{ a=1}\)
\(\displaystyle{ W(n)=\sin n}\)
\(\displaystyle{ P(n)=n}\)

[smigol]

Jeśli \(\displaystyle{ P,W}\) są wielomianami, \(\displaystyle{ a}\) jest ustaloną liczbą rzeczywistą, to wtedy to jest prawda.

[Shusheiri]

A co powiesz na taką sytuację:
\(\displaystyle{ a=1}\)
\(\displaystyle{ W(n)=\sin n}\)
\(\displaystyle{ P(n)=n}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( 1 + \frac{1}{\sin n} \right) ^{n} = e ^{ \lim_{n \to \infty } \frac{n}{\sin n} }= e ^{ \infty }= \infty}\)

Źle?-- 17 paź 2012, o 20:58 --

Jeśli \(\displaystyle{ P,W}\) są wielomianami, \(\displaystyle{ a}\) jest ustaloną liczbą rzeczywistą, to wtedy to jest prawda.

Tylko, że ja potrzebuję dowodu.

[smigol]

Zacznij od tego, że \(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{a}{W(n)} \right) ^{P(n)} = e^{(pewna \ potega)}}\)

[Shusheiri]

Doszedłem do dowodu. Nie wiem tylko, czy jest prawdziwy, dlatego umieszczam go tutaj.

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (1+ \frac{a}{W(n)}) ^{P(n)} =}\)
\(\displaystyle{ = \lim_{n \to \infty } (1 + \frac{1}{ \frac{W(n)}{a} })^{P(n)}=}\)
\(\displaystyle{ = \lim_{n \to \infty } [(1 + \frac{1}{ \frac{W(n)}{a} }) ^{ \frac{W(n)}{a} }] ^{ \frac{a \cdot P(n)}{W(n)} } =}\)
\(\displaystyle{ = \lim_{n \to \infty } e ^{ \frac{a \cdot P(n)}{W(n)}}}\)

[smigol]

Nie możesz sobie tak beztrosko przechodzić w jednym miejscu do granicy, a w drugim nie. Na przykład \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \neq \lim_{n \to \infty} 1^n=1}\).

[Shusheiri]

Pomógłby więc ktoś o większej wiedzy niż ja, skonstruować poprawny dowód?

[smigol]

Zapisz to wyrażenie z pierwszego posta jako \(\displaystyle{ e}\) do pewnej potęgi (\(\displaystyle{ a^b = e^{b \ln a}}\)).

[Shusheiri]

Zapisz to wyrażenie z pierwszego posta jako \(\displaystyle{ e}\) do pewnej potęgi (\(\displaystyle{ a^b = e^{b \ln a}}\)).

\(\displaystyle{ (1+ \frac{a}{W(n)}) ^{P(n)} = e^{P(n) \ln (1+ \frac{a}{W(n)})}}\)

Próbowałem metodą de l'Hospitala, zastanawiałem się, ale tego logarytmu naturalnego z wykładnika nie da się chyba w żaden sposób usunąć, żeby jakoś to sensownie przekształcić.

[smigol]

Hint: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln (1+x_n)}{x_n}=1}\) o ile \(\displaystyle{ x_n \to 0}\).

Edit: Poprawiono.

[Adifek]

Hint: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1+x_n}{x_n}=1}\) o ile \(\displaystyle{ x_n \to 0}\).

No chyba nie...

Do autora - masz ciągi, a chcesz korzystać z de l'Hospitala? To trzeba uzasadnić ciągłością odpowiednich funkcji (różniczkowalnych w dodatku!), podczas gdy nadal nic nie mówisz o \(\displaystyle{ W}\) i \(\displaystyle{ P}\).

-- 18 października 2012, 21:54 --

Niech \(\displaystyle{ W:\mathbb{R} \rightarrow (-a,\infty) \setminus \left\{ 0\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ P:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \left\{ 0\right\}}\) będą różniczkowalne, przy czym \(\displaystyle{ P'(x) \neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}P(x)=\pm \infty}\), \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}W(x) =\pm \infty}\) (Czyli granice istnieją i są nieskończone), ponadto \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{W'(x)}{P'(x)}=K \neq 0}\).

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=P(x)\ln \left( 1+\frac{a}{W(x)}\right)}\). Jest ona różniczkowalna jako złożenie funkcji różniczkowalnych.

Dodatkowo zauważmy, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} \frac{W'(x)}{P'(x)}=H =\lim_{x \to \infty} \frac{W(x)}{P(x)}=K}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}P(x)\ln \left( 1+\frac{a}{W(x)}\right)=\lim_{x\to \infty} \frac{\ln \left( 1+\frac{a}{W(x)}\right)}{ \frac{1}{P(x)} }= H = \\ \lim_{x\to \infty} \frac{ \frac{1}{1+\frac{a}{W(x)}} \cdot \frac{-a}{(W(x))^{2}} \cdot W'(x) }{ \frac{-1}{(P(x))^{2}} \cdot P'(x) }= \frac{a}{K}}\)

(z założeń, spostrzeżenia oraz z tego, że \(\displaystyle{ \frac{1}{1+ \frac{a}{W(x)} }= \frac{W(x)}{W(x)+a} \rightarrow 1}\))

Ale \(\displaystyle{ \frac{a}{K}=\lim_{x\to \infty} \frac{aP(x)}{W(x)}}\)


Stąd i z ciągłości funkcji wykładniczej mamy:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }\left( 1 + \frac{a}{W(x)} \right) ^{P(x)} = e ^{ \lim_{x \to \infty } \frac{a \cdot P(x)}{W(x)} }}\)

W szczególności zachodzi dla liczb naturalnych.

Jak widzisz najszybszy dowód teoretycznie tak prostej rzeczy dla ciągów jest strasznym potworkiem i korzysta z bardzo silnych założeń. Prawdopodobnie da się to zrobić w bardziej elementarny sposób, ale nie licz, że ktoś Ci to zrobi na forum.


Edit: Da się szybciej

Niech \(\displaystyle{ W:\mathbb{R} \rightarrow (-a,\infty) \setminus \left\{ 0\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ P:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \left\{ 0\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}W(x) =\pm \infty}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \frac{W(x)}{P(x)}=K}\).

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty }P(x)\ln \left( 1+\frac{a}{W(x)}\right)=\lim_{x\to \infty } \frac{\frac{a}{W(x)} \cdot P(x)\ln \left( 1+\frac{a}{W(x)}\right)}{\frac{a}{W(x)}}= \frac{a}{K}}\)

Dalej tak samo No to może nie aż tak wiele potrzeba...