Nierówności/równania z wartością bezwzględną.

[Incandence]

Mam problem z takimi oto przykładami:

\(\displaystyle{ a) 9\left| x\right| ^3 - \left| x\right| \ge 0

b) \left| x^3 -1 \right| = x^2+x+1

c) 0,5 \left| x^3 +1\right| =x^2-x+1}\)

Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc w miarę prostym języku.

[pyzol]

W pierwszym wyciągnij \(\displaystyle{ |x|}\) przed nawias, następnie wzór skróconego mnożenia.
W drugim i trzecim wzór skróconego mnożenia na różnicę (sumę) sześcianów. Potem należy zauważyć że wyrażenia po lewej stronie są zawsze dodatnie i możemy obustronnie przez nie podzielić.

[Incandence]

W pierwszym wyciągnij \(\displaystyle{ |x|}\) przed nawias, następnie wzór skróconego mnożenia.

Tak zrobiłam, ale nie wyszło niestety... \(\displaystyle{ 9|x| \left( |x|^2 - \frac{1}{9} \right) \ge 0}\), co z tym dalej? Na dwa przypadki, takie że...
\(\displaystyle{ 9x \left( x- \frac{1}{3} \right) \left( x+ \frac{1}{3} \right) \ge 0 \vee -9x \left( x- \frac{1}{3} \right) \left( x+ \frac{1}{3} \right) <0}\) ?
Po po rozwiązaniu tych nierówności wynik nie jest poprawny.

[pyzol]

Jeśli chcesz robić tak, to:
Dla \(\displaystyle{ x<0}\) rozwiązujesz nierówność \(\displaystyle{ (|x|=-x)}\):
\(\displaystyle{ -9x(-x- \frac{1}{3} )(-x+ \frac{1}{3} ) \ge 0}\)
Robisz część wspólną z warunkiem.
Następnie dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) rozwiązujesz:
\(\displaystyle{ 9x(x- \frac{1}{3} )(x+ \frac{1}{3} ) \ge 0}\)
I znów robisz część wspólną z założeniem.

Alternatywne rozwiązanie:
Zauważmy, że \(\displaystyle{ |x| \ge 0,|x|+\frac{1}{3} \ge 0}\). Więc tak naprawdę znak iloczynu zależy tylko od wyrażenia:
\(\displaystyle{ |x|-\frac{1}{3}}\)
Więc rozwiązujesz nierówność:
\(\displaystyle{ |x|-\frac{1}{3} \ge 0}\)
Przy czym gdy \(\displaystyle{ x=0}\), to też będzie spełnione.

[Incandence]

Jeśli chcesz robić tak, to:
Dla \(\displaystyle{ x<0}\) rozwiązujesz nierówność \(\displaystyle{ (|x|=-x)}\):
\(\displaystyle{ 0 \vee -9x(-x- \frac{1}{3} )(-x+ \frac{1}{3} ) \ge 0}\)
Robisz część wspólną z warunkiem.
Następnie dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) rozwiązujesz:
\(\displaystyle{ 0 \vee 9x(x- \frac{1}{3} )(x+ \frac{1}{3} ) \ge 0}\)
I znów robisz część wspólną z założeniem.

Skąd te zero przy obu przypadkach? Przepraszam, że tak wypytuję, ale niestety nic nie mieliśmy tłumaczone i owe nierówności sprawiają niewypowiedzianą trudność.

[pyzol]

Te \(\displaystyle{ 0}\) się wzięło, z tego, że robiłem kopiuj wklej od Ciebie z lenistwa .
Już poprawię.

[ollol]

A gdyby było \(\displaystyle{ \left| x-1 \right| ^{3} =0}\)?

[pyzol]

\(\displaystyle{ |x-1|^3=0 \Leftrightarrow |x-1|=0 \Leftrightarrow x-1=0}\)