Wyznaczanie lim inf zbiorów

[Zedd]

Witam.
Dwa zadania których do końca nie ogarniam. Proszę o pomoc.
Wyznacz \(\displaystyle{ \lim \inf}\) oraz \(\displaystyle{ \lim \sup}\) podanych przedziałów:
\(\displaystyle{ a)\left[ \frac{1}{n},n\right]}\)
\(\displaystyle{ b)\left( n- n^{2}, \frac{1}{n} \right)}\)

[szw1710]

\(\displaystyle{ \lim\sup}\) to tzw. granica górna, którą mają ciągi bądź ogólnie funkcje. Podobnie z granicą dolną. Granice te istnieją zawsze w odróżnieniu od zwykłych granic. Tutaj zapewne chodzi o zwykłe kresy zbiorów, co w przypadku przedziałów jest zadaniem więcej niż trywialnym.

[Jan Kraszewski]

szw1710, nie, chodzi o granicę górną i dolną ciągu zbiorów.

\(\displaystyle{ \limsup_{n\in\NN}A_n=\bigcap_{n\in\NN}\bigcup_{k\ge n}A_n}\)

\(\displaystyle{ \liminf_{n\in\NN}A_n=\bigcup_{n\in\NN}\bigcap_{k\ge n}A_n}\)

Zedd, liczysz z definicji, jak inne podwójne działania uogólnione.

JK

[szw1710]

No tak Zasugerowałem się samymi przedziałami. Gdyby napisał "ciągów zbiorów", może byłoby lepiej

[Zedd]

Czyli dobrze to rozumuje?
A)
\(\displaystyle{ \limsup \left[ \frac{1}{n},n \right] = \bigcap_{n \in \NN} \bigcup_{i=n}^{ \infty } \left[ \frac{1}{i},i \right]=\bigcap_{n \in \NN}\left( 0, \infty \right) =\left( 0, \infty \right)}\)
\(\displaystyle{ \liminf \left[ \frac{1}{n},n \right] = \bigcup_{n \in \NN} \bigcap_{i=n}^{ \infty } \left[ \frac{1}{i},i \right]= \bigcup_{n \in \NN} \left[ \frac{1}{n},n \right]=\left( 0, \infty \right)}\)
B)
\(\displaystyle{ \limsup \left( n-n ^{2}, \frac{1}{n} \right) = \bigcap_{n \in \NN} \bigcup_{i=n}^{ \infty } \left( i-i ^{2}, \frac{1}{i} \right)= \bigcap_{n \in \NN} \left( - \infty , \frac{1}{n} \right)=\left( - \infty,0 \right]}\)
\(\displaystyle{ \liminf \left( n-n ^{2}, \frac{1}{n} \right) = \bigcup_{n \in \NN} \bigcap_{i=n}^{ \infty } \left( i-i ^{2}, \frac{1}{i} \right)= \bigcup_{n \in \NN} \left(n-n ^{2} ,0\right]= \left( - \infty ,0\right]}\)

Tak przy okazji jak udowodnić że \(\displaystyle{ x \in \limsup A_{n}}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x \in A_{n}}\) dla nieskończenie wielu n, a \(\displaystyle{ x \in \liminf A_{n} \Leftrightarrow x \in A_n}\) dla prawie wszystkich n (wszystkich z wyjątkiem skończonej liczby)?

[Jan Kraszewski]

Czyli dobrze to rozumuje?

Dobrze.

Tak przy okazji jak udowodnić że \(\displaystyle{ x \in \limsup A_{n}}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x \in A_{n}}\) dla nieskończenie wielu n, a \(\displaystyle{ x \in \liminf A_{n} \Leftrightarrow x \in A_n}\) dla prawie wszystkich n (wszystkich z wyjątkiem skończonej liczby)?

Rozpisać z definicji działań uogólnionych, co oznacza \(\displaystyle{ x \in \limsup A_{n}}\) i \(\displaystyle{ x \in \liminf A_{n}}\) i przeczytać otrzymane wyrażenia z kwantyfikatorami.

JK