Dowieść nierówność - pytanie

[Cari]

Witam.
Mógłby mi ktoś pomóc, nie rozumiem dlaczego w danym rozumowaniu występuję liczba 4.. Ale zaczne od treści zadania:

Dowiesc, ze dla kazdej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ (n+4) \cdot {2n\choose n} > 2^{2n+1}}\)

gdy przeprowadzamy indukcje i potem sprawdzamy dla (n+1) napotykam coś takiego:

\(\displaystyle{ (n+4) \cdot {2n\choose n} \cdot \frac{2(n+5)(2n+1)}{(n+4)(n+1)} \ge 2^{2n+1} \cdot 4 = 2^{2n+3}}\)

- jak z tego równania wzięła się 4? Może źle na to patrzę, nie mogę zrozumieć dlaczego z tego \(\displaystyle{ \frac{2(n+5)(2n+1)}{(n+4)(n+1)}}\) zrobiła się 4.

[lukasz1804]

Wykaż (rozwiązując nierówność wymierną), że rozważany ułamek ma wartość większą bądź równą \(\displaystyle{ 4}\) dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\).

[Cari]

no ale dla n=1 równość jest prawdziwa, jak i dla n=2 czy n =3. To dlaczego 4?

[lukasz1804]

Ta \(\displaystyle{ 4}\) występująca w oszacowaniu nie ma nic wspólnego z jednym li tylko przypadkiem \(\displaystyle{ n=4}\).
Rozwiąż za to nierówność \(\displaystyle{ \frac{2(n+5)(2n+1)}{(n+4)(n+1)}\ge 4}\) - przekonasz się, że oszacowanie uczynione w dowodzie tezy indukcyjnej jest prawdziwe.

[Cari]

no to równość w postaci

\(\displaystyle{ \frac{2(n+5)(2n+1)}{(n+4)(n+1)}\ge 4}\)

równa się

\(\displaystyle{ (n+5)(2n+1) \ge 2(n+4)(n+1)}\) mamy

\(\displaystyle{ 2n^2 + 11n + 5 \ge 2n^2 + 10n + 8}\)

zostaje
\(\displaystyle{ n \ge 3}\)


właśnie nie rozumiem tego przejścia, jak np wpaść na to, że będzie to liczba 4 a nie inna? Z innym bardzo podobnym przypadkiem mam ten sam problem bo też jest tam liczba 4

[lukasz1804]

W porządku. Wiesz już też, że wyjściowa nierówność jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ n=1, n=2}\). To wraz z Twoimi obliczeniami i moją poprzednią uwagą daje, że wyjściowa nierówność jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ n}\).