Dowód na nie istnienie liczby największej w przedz wymiernym

[aga.gmail]

bierzemy pod uwagę przekrój wymierny odpowiadający niewymiernemu \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\).
Teza to to że lewy przedział \(\displaystyle{ A=\left(- \infty, \sqrt{2} \right) \cap Q}\) nie ma liczby największej.
Aby to udowodnić do liczby \(\displaystyle{ p \in A}\) dodajemy taką liczbę \(\displaystyle{ h}\), że \(\displaystyle{ p<p+h}\) i \(\displaystyle{ \left( p+h\right)^{2} < 2}\).
Wg. opracowania W. Rudina \(\displaystyle{ h= \frac{2-p^{2}}{p+2}}\). O ile jest to poprawna liczba, która spełnia spełnia założenia to nie wiem skąd ona się wzięła. I to jest moje pytanie.
Link do fragmentu z książki:

[Zordon]

Podstaw ją i zweryfikuj, że się zgadza. Skąd się wzięła? Z głowy autora książki. W takich przypadkach nie jest ważne "skąd to się wzięło" tylko "czy to działa".

[aga.gmail]

No niby tak, w innym pdr znalazłam \(\displaystyle{ \frac{4p}{2+p^{2}}}\) i też działa. Tylko chodzi mi o to że gdy mi przyjdzie np. na egzaminie to dowodzić i zapomnę tych postaci liczb, to jak sobie taką liczbę skonstruować? Autor też musiał jakoś na to wpaść.

[smigol]

\(\displaystyle{ p^2+2ph+h^2<2 \Leftrightarrow h(h+2p)<2-p^2}\). No to widać, że dobrze by było, jakby \(\displaystyle{ h}\) było postaci \(\displaystyle{ 2-p^2}\) przez 'coś'.

[ironleaf]

w innym pdr znalazłam \(\displaystyle{ \frac{4p}{2+p^{2}}}\) i też działa.

Metoda Newtona daje przybliżenia z jednej strony (jeśli funkcja jest dostatecznie porządna), w przypadku wypukłej funkcji kwadratowej z góry.
Jeśli \(\displaystyle{ p}\) przybliża z dołu \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{p}}\) przybliża z góry \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{2}}}\). Kolejnym przybliżeniem z góry \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{2}}}\) będzie \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{p}+\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{p}}}{2} = \frac{p^2+2}{4p}}\), stąd lepszym niż \(\displaystyle{ p}\) przybliżeniem \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) z dołu jest \(\displaystyle{ \frac{4p}{p^2+2}}\).