Granica z definicji

[szprot_w_oleju]

Witam, proszę o sprawdzenie czy dobrze zrobiłem zadanie:

Wykazać na podstawie definicji że

\(\displaystyle{ \lim_{n \to\infty } \frac{n^{2}+n-1}{n^{2}-n+1}=1\\
\\
\left| a_{n}-g\right| <\epsilon}\)

Po podstawieniu i przekształceniach otrzymuję:

\(\displaystyle{ \frac{2n-2}{n^{2}-n+1}<\epsilon}\)

Zauważam że:

\(\displaystyle{ \frac{2n-2}{n^{2}-n+1}=\frac{2n-2}{n^{2}-(n-1)}> \frac{2n-2}{n^{2}}> \frac{1}{n^{2}}}\)

dla każdego \(\displaystyle{ n>2}\)

Teraz mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2}}<\epsilon}\)

czyli

\(\displaystyle{ n> \sqrt{ \frac{1}{\epsilon} }}\)

zatem dla \(\displaystyle{ n_{0}>n}\) dla dowolnie małego dodatniego\(\displaystyle{ \epsilon}\) wyjściowa nierówność będzie spełniona.


W szczególności chodzi mi o to że mam profesora który bardzo się czepia zapisu więc proszę o zwrócenie mi uwagi jeśli za któryś zapis mógłby mi obciąć punkty na egzaminie.

[justynian]

to że \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2}}<\epsilon}\) nie oznacza że \(\displaystyle{ \frac{1}{n^{2}}<\frac{2n-2}{n^{2}-n+1}<\epsilon}\), profesor zapewne jest uważny to nie oznacza że się czepia ...

[szprot_w_oleju]

To szacowanie jest tylko dla uproszczenia rachunków i wydaje mi się że jest poprawne. A czemu wg Ciebie nie jest?

[justynian]

napisałem dlaczego ...

[szprot_w_oleju]

Zauważ, że źle zrozumiałeś to co ja zrobiłem.

\(\displaystyle{ \epsilon>\frac{2n-2}{n^{2}-n+1} \wedge \frac{2n-2}{n^{2}-n+1} > \frac{1}{n^{2}} \Rightarrow \epsilon>\frac{1}{n^{2}}}\)

[justynian]

zrozumiałem dobrze to ty źle zrobiłeś

[777Lolek]

szprot_w_oleju napisał najpierw:

\(\displaystyle{ \frac{2n-2}{n^2-n+1} < \epsilon}\)

po czym zauważył, że rzeczywiście dla \(\displaystyle{ n > 2}\) zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{2n-2}{n^2-n+1} > \frac{1}{n^2}}\)

I czy to razem już rzeczywiście nie oznacza, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2} < \frac{2n-2}{n^2-n+1} < \epsilon}\) ? jeśli \(\displaystyle{ b < c \wedge a<b \Leftrightarrow a<b<c}\)

[justynian]

Zauważ, że źle zrozumiałeś to co ja zrobiłem.

\(\displaystyle{ \epsilon>\frac{2n-2}{n^{2}-n+1} \wedge \frac{2n-2}{n^{2}-n+1} > \frac{1}{n^{2}} \Rightarrow \epsilon>\frac{1}{n^{2}}}\)

Ta implikacja jest prawdziwa ale nie zrozumiałeś tego co napisałeś w pierwszym poście :

zatem dla \(\displaystyle{ n_{0}>n}\) dla dowolnie małego dodatniego \(\displaystyle{ \epsilon}\) wyjściowa nierówność będzie spełniona.

A to prawdą nie jest co już zaznaczyłem powyżej.

Nie wiem czy jesteś świadom tego ale masz udowodnić że zawsze znajdziesz \(\displaystyle{ N}\) że dla każdego \(\displaystyle{ n>N,}\) \(\displaystyle{ \epsilon>\frac{2n-2}{n^{2}-n+1}}\)

[szprot_w_oleju]

No i chyba znalazłem z tym że u mnie \(\displaystyle{ n}\) to u Ciebie\(\displaystyle{ N}\), a u mnie \(\displaystyle{ n_{0}}\) to u Ciebie \(\displaystyle{ n}\).

[justynian]

\(\displaystyle{ \epsilon= \frac{1}{16}}\), \(\displaystyle{ n=5}\)

[szprot_w_oleju]

Ale przecież \(\displaystyle{ n}\) rośnie w nieskończoność, a \(\displaystyle{ \epsilon}\) to pewne liczba, więc zawsze można dobrać taki \(\displaystyle{ n}\), żeby \(\displaystyle{ \epsilon>\frac{2n-2}{n^{2}-n+1}}\)

[justynian]

to właśnie masz pokazać ...

[szprot_w_oleju]

No czyli wyznaczyłem z szacowaniem \(\displaystyle{ n> \sqrt{ \frac{1}{\epsilon}}}\) i do tego mam dopisać komentarz słowny że zawsze można znaleźć \(\displaystyle{ n}\) spełniające tę nierówność bez względu na \(\displaystyle{ \epsilon}\)?

[justynian]

ale z tego nie wynika że takie n spełnia \(\displaystyle{ \epsilon>\frac{2n-2}{n^{2}-n+1}}\). Zachodzi właśnie odwrotne wynikanie !!! (co pokazuje nawet ten kontrprzykład który podałem)

[szprot_w_oleju]

Czyli jak to w końcu można udowodnić?