przedstawić w postaci trygonometrycznej

[hubertwojtowicz]

Witam,
mam problem z takim przykładem:
\(\displaystyle{ z=1-i\ctg \alpha}\)
aby zapisać go w postaci
\(\displaystyle{ z=|z| \left( \cos \beta +i \sin \beta \right)}\)
Proszę o jakieś podpowiedzi. Generalnie próbowałem zamianę kątów, bo domyślam się że o to tu chodzi i zapisałem wzór:
\(\displaystyle{ \ctg \alpha= \frac{1+\cos 2 \alpha}{\sin 2 \alpha}}\),
ale nadal nic.

[justynian]

to że przy \(\displaystyle{ i}\) jest funkcja tryg. niczego nie zmienia zamienia się tak jak zawsze z postaci kanonicznej na trygonometryczną: ... ometryczna .

[hubertwojtowicz]

nadal nie kapuję -- dzisiaj, o 19:55 --chociażby z tego względy, że moduł będzie funkcją zmiennej \(\displaystyle{ \alpha}\)

[justynian]

albo \(\displaystyle{ \alpha}\) jest stałą i wtedy \(\displaystyle{ z}\) jest liczbą, albo jest zmienną i wtedy \(\displaystyle{ z}\) liczbą nie jest a funkcją zależną od \(\displaystyle{ \alpha}\)

[hubertwojtowicz]

\(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem skierowanym przeciwnie do wskazówek zegara zawartym między dodatnią osią rzeczywistą a wektorem obrazującym liczbę zespoloną.
Generalnie \(\displaystyle{ z=z(\alpha)}\)
np \(\displaystyle{ z(\alpha)=\sin \alpha - i \cos \alpha =1 \cdot [ cos(\alpha - \frac{\pi}{2})+i\sin( \alpha + \frac{\pi}{2} )]}\)
Czy można zrobić taki szacher-macher z \(\displaystyle{ 1-\ctg \alpha}\) ?

[justynian]

więc z jest funkcją i nie ma problemu żeby moduł zależał od \(\displaystyle{ \alpha}\) tylko po co w ogóle wtedy zamiana ?

[hubertwojtowicz]

Takie jest zadanie. Domyślam się, że jest to przygotowanie do potęgowania wzorem de Moivre'a. Tylko nie wiem co z tym modułem. Generalnie inaczej być nie może niż \(\displaystyle{ z=z(\alpha)}\) nie wiem czy przypadkiem nie powinno być także \(\displaystyle{ |z|=const}\).

[justynian]

na pewno nie jest |z|=constant bo argument nie wyznacza jednoznacznie liczby zespolonej.

[hubertwojtowicz]

dzięki za owocną dyskusję

[Dasio11]

To może dla odmiany coś konstruktywnego? Radzę wyłączyć \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos \alpha}}\) przed nawias.

[hubertwojtowicz]

Jak już konstruktywnie, to \(\displaystyle{ 1-i \ctg \alpha=\frac{1}{\sin \alpha} \cdot [ \sin \alpha - i \cos \alpha] =\frac{1}{\sin \alpha}\cdot \left[ \cos \left( \alpha - \frac{\pi}{2} \right) +i\sin \left( \alpha + \frac{\pi}{2} \right) \right]}\), czyli raczej\(\displaystyle{ \frac{1}{\sin \alpha}}\)

[Dasio11]

A. No dobra.