Kres górny i dolny zbioru

[dmjeh]

Zad. 1.

Znajdź kresy górny i dolny zbioru:

\(\displaystyle{ \left\{ \frac{mn}{4m^{2}+ 9n^{2}}:m \in Z, n \in N \right\}}\)

I moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \frac{mn}{ 4m^{2}+9n^{2} } = \frac{2}{25}}\)

\(\displaystyle{ 25mn < 8m^{2} + 18n^{2}}\)

\(\displaystyle{ 25mn < 2\left( 4m^{2}+ 9n^{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ 25mn < 2\left[ \left( 2m-3n\right)^{2} +12mn \right]}\)

\(\displaystyle{ mn < 2\left( 2m-3n\right)^{2}}\)

I w tym miejscu się zacięłam i nie wiem co dalej.

[Qń]

I moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \frac{mn}{ 4m^{2}+9n^{2} } = \frac{2}{25}}\)
\(\displaystyle{ 25mn < 8m^{2} + 18n^{2}}\)
\(\displaystyle{ 25mn < 2\left( 4m^{2}+ 9n^{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ 25mn < 2\left[ \left( 2m-3n\right)^{2} +12mn \right]}\)
\(\displaystyle{ mn < 2\left( 2m-3n\right)^{2}}\)

Na razie nie jest to żadne rozwiązanie, ani nawet początek rozwiązania - póki co jest to tylko ciąg znaków, w którym nie wiadomo o co chodzi. Jakiekolwiek rozwiązanie tego zadania musi zawierać rozumowanie jakie przeprowadzamy.

Może więc zaczniesz od wyjaśnienia co w ogóle robisz i dlaczego?

Q.

[dmjeh]

udowadniam, ze \(\displaystyle{ \frac{2}{25}}\) jest kresem górnym

[Qń]

W takim razie rozwiązanie powinno wyglądać tak:
Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ m,n}\) takich a takich wyrażenie przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \frac{2}{25}}\). Pokażmy, że nigdy nie przyjmie wartości większej. (i tutaj uzasadnienie składające się w sporej mierze z rachunków).

Inna sprawa natomiast, że \(\displaystyle{ \frac{2}{25}}\) wcale nie jest kresem górnym tego zbioru. Wskazówka - udowodnij i użyj nierówność:
\(\displaystyle{ -\frac 12 \le \frac{xy}{x^2+y^2}\le \frac 12}\)
przy czym lewa równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x=-y}\), a prawa równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x=y}\).

Q.

[dmjeh]

a dlaczego nie będzie kresem górnym???

[Qń]

a dlaczego nie będzie kresem górnym???

A dlaczego miałoby być?

Poza tym: proponuję przeczytać i zrozumieć wskazówkę.

Q.

[dmjeh]

jak robilam z pochodnej to wyszlo mi wlasnie \(\displaystyle{ \frac 12 , - \frac 12}\) ale prowadzacy stwierdzil,ze nie moge zastosowac pochodnej bo jeszcze nie bylo...
czy mam wiec rozumiec, ze kresem gornym bedzie \(\displaystyle{ \frac 12}\) ale wartoscia najwieksza \(\displaystyle{ \frac{2}{25}}\) tak?

[Qń]

jak robilam z pochodnej to wyszlo mi wlasnie \(\displaystyle{ \frac 12 , - \frac 12}\)

Pokaż w takim razie jak to "robiłaś z pochodnej", bo jeśli tyle Ci wyszło, to gdzieś musiałaś zrobić błąd.

czy mam wiec rozumiec, ze kresem gornym bedzie \(\displaystyle{ \frac 12}\) ale wartoscia najwieksza \(\displaystyle{ \frac{2}{25}}\) tak?

Oczywiście nie.

Co jest dla Ciebie niejasnego we wskazówce?

Q.

[dmjeh]

skąd ta \(\displaystyle{ \frac12}\) to jest dla mnie niejasne. A dopóki niejasne, to się tego nie nauczę robic chyba nigdy;(

[Qń]

Pytasz dlaczego zachodzą podane przeze mnie nierówności czy też pytasz skąd wiadomo, że akurat ich warto użyć? Jeśli o to pierwsze, to jest to zadanie dla Ciebie, aby je udowodnić (a przynajmniej spróbować). A jeśli o to drugie, to jest to po prostu matematyczny trick.

Podjęłaś jakieś próby udowodnienia zaproponowanych nierówności? Oraz: masz jakiś pomysł w jaki sposób mogą one być tu przydatne?

Q.