Dowód na kres górny

dmjeh · Post autor: **dmjeh** » 9 paź 2012, o 21:59

1) Niech \(\displaystyle{ A=\bigcup_{n \in \NN} A_{n}}\).
Oznaczamy \(\displaystyle{ a_{n}=\sup A_{n} .}\) Wykaż, że \(\displaystyle{ \sup A=\sup\left\{ a_{n} \right\}}\).

Pomóżcie!

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 9 paź 2012, o 22:14

Czy kres górny definiujesz jako liczbę rzeczywistą, czy może być \(\displaystyle{ +\infty?}\) Bo jeśli to liczba rzeczywista, to teza nie zachodzi. Np. dla \(\displaystyle{ A_n=\{n\}.}\) Ewentualnie należałoby założyć, że \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem ograniczonym.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 9 paź 2012, o 22:18

Najpierw należałoby napisać, czym są \(\displaystyle{ A_n}\)...

JK

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 9 paź 2012, o 22:20

Owszem Ale chyba domyślnie - w \(\displaystyle{ \RR}\). Nie dopatrzałem. Na kratach czy posetach chyba tego nie robią.

dmjeh · Post autor: **dmjeh** » 9 paź 2012, o 22:25

duże A znaczy zbiór.
myślę, ze nierówność w jedną stronę mamy z definicji sumy aw drugą z definicji sup więc równość.
tylko trzeba to zapisać ( więc?)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 9 paź 2012, o 22:28

Skoro \(\displaystyle{ A}\) oznacza zbiór, to weźmy \(\displaystyle{ A_n=A=\{\text{magister, doktor, doktor habilitowany, profesor}\}.}\) Jakie jest tu supremum?

dmjeh · Post autor: **dmjeh** » 9 paź 2012, o 22:34

no i?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 9 paź 2012, o 22:34

Odniosłem się do uwagi Jana Kraszewskiego. Widać, że była słuszna.

dmjeh · Post autor: **dmjeh** » 9 paź 2012, o 22:41

prowadzący nic więcej nie zdefiniował.ponoc mozna sie tego domyslec...

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 9 paź 2012, o 22:51

Ale na zajęciach musiał być jakiś kontekst. Poza tym z mojego pierwszego posta wynika, że coś jednak trzeba założyć i przemyśleć definicję kresu nawet jeśli okażę się domyślny i założę, że chodzi o podzbiory \(\displaystyle{ \RR.}\)

Załóż więc, że \(\displaystyle{ A\subset\R}\) (suma rodziny) jest zbiorem ograniczonym z góry, a co za tym idzie, \(\displaystyle{ A_n}\) są także ograniczone z góry. Sama ograniczoność zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) nie wystarczy, bo podałem przykład. Suma też musi być ograniczona, przynajmniej z góry.

dmjeh · Post autor: **dmjeh** » 10 paź 2012, o 10:45

Napisałam do prowadzącego.
Oto jego komentarz do zadania " zbiory \(\displaystyle{ A_n}\) są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych. Żadnych założeń dotyczących ograniczoności zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) nie ma. Trzeba rozpatrzeć wszystkie
przypadki"
jak to więc ładnie ( tj.czytelnie) zapisać??

Post autor: **Jan Kraszewski** » 10 paź 2012, o 10:56

No to trzeba powtórzyć pytanie o używaną przez Ciebie definicję:

szw1710 pisze:Czy kres górny definiujesz jako liczbę rzeczywistą, czy może być \(\displaystyle{ +\infty?}\)

JK

PS. Czyś Ty mężczyzna czy niewiasta?