oblicz wartości wyrażeń ( z sigmą)

[Cari]

Witam!

Z listy zadań z analizy, mam dwa przykłady, których nie potrafię rozwiązać. Zastanawiałam się czy, aby obliczyć tak duże sumy, trzeba dojść do wyprowadzenia jakiegoś wzrou (?). Mógłby mi ktoś pomóc z tymi przykładami.
Treść zadania to: Oblicz wartości wyrażeń:

1) \(\displaystyle{ \sum_{i=-99}^{n=100} i^3}\)

2) \(\displaystyle{ \sum_{i=-10}^{n=10} 7}\)

[Tmkk]

\(\displaystyle{ 1)}\) Zauważ, że \(\displaystyle{ (-a)^3+a^3 = 0}\)
\(\displaystyle{ 2)}\) A \(\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{10} 1}\) umiałabyś policzyć?

[Cari]

w tym drugim, to jedyne co mi przychodzi na myśl to stała, nie umiem tego policzyć

[Tmkk]

Ok, zakładam, że wiesz co ten symbol oznacza. Więc rozpisz tę sumę, którą podałem: \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{10} 1}\).

A co do pierwszego, to już wiesz, o co chodzi?

[Cari]

Dzisiaj się dowiedziałam co ten symbol oznacza.

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{10} 1}\) , tutaj zaczynamy od liczby 0 a suma będzie miała dziesięć elementów, tylko co z tą jedynką,


a w tym pierwszym jeszcze nie

[Tmkk]

Ok, więc chyba słabo słuchałaś na wykładzie ; P

Masz na przykład coś takiego: \(\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{10} i^2}\)

Ten symbol oznacza dodawanie, tylko zapisane w skrócie. Tak bardzo nieformalnie wygląda to tak: Najpierw patrzysz na indeks dolny, żeby wiedzieć od czego zacząć. Jest tam informacja, że na początku \(\displaystyle{ i = 0}\). Więc wstawiasz do wzoru ogólnego \(\displaystyle{ 0}\) i pierwszym wyrazem sumy jest \(\displaystyle{ 0^2 = 0}\). Ok, dalej znowu patrzysz na indeks dolny i tym razem już nie bierzesz 0, bo je dopiero co wzięłaś, więc teraz kolejna liczba całkowita, czyli \(\displaystyle{ 1}\) i wstawiasz ją do wzoru ogólnego, czyli \(\displaystyle{ 1^2 = 1}\). I robisz tak do momentu, aż dolny indeks będzie równy górnemu, czyli \(\displaystyle{ i = 10}\).

Czyli tę sumę można rozpisać tak: \(\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{10} i^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 +... + 9^2 + 10^2}\)

A co z tą sumą, którą podałem? Jest jeszcze prostsza, bo we wzoru ogólnym nie ma żadnych niewiadomych, czyli po prostu \(\displaystyle{ \sum_{i = 0}^{10} 1= 1+1+1+...+1+1 = 11}\) (bo od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 10}\) jest \(\displaystyle{ 11}\) liczb całkowitych).

Jak dalej nie rozumiesz, to napisz czego.

[Cari]

teraz już rozumiem, czyli jak mam coś takiego

\(\displaystyle{ \sum_{i=3}^{5} i^2}\) to rozpisuje to tak: \(\displaystyle{ 3^2 + 4^2 + 5^2}\)

[Tmkk]

Dokładnie.

[Cari]

W tym pierwszym przykładzie: \(\displaystyle{ \sum_{i=-99}^{100} i^3}\), próbowałam zrobić coś takiego, rozpatrzyłam dwie pierwsze liczby \(\displaystyle{ -99}\) i \(\displaystyle{ -98}\) :

\(\displaystyle{ (-99)^3+(-98)^3 = (-99)^3 - (99-1)^3}\)

Próbowałam skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \(\displaystyle{ a^3-b^3}\) ale nie wyszło,innym razem wynik wyszedł mi \(\displaystyle{ 1}\) ale nie wiem czy moje rozumowanie było dobre przy tej \(\displaystyle{ 1}\). W dobrym kierunku zmierzam rozdzielając tak te liczby?

[Tmkk]

\(\displaystyle{ \sum_{i=-99}^{100} i^3 = (-99)^3+(-98)^3+(-97)^3+ ... + 98^3+99^3+100^3}\)

Widzisz, co się skraca?

[Cari]

no tak, faktycznie, dzięki, teraz dopiero zauważyłam.