Przykład grupy nieabelowej

[ultramathguitar]

Witam!
Jestem studentem I semestru matematyki na PG. Dziś na wykładzie z algebry liniowej podano nam następującą definicję grupy:

Niech * będzie działaniem w niepustym zbiorze G. Parę \(\displaystyle{ (G,*)}\) nazywamy grupą, jeśli * ma następujące właściwości:
1. Dla każdego \(\displaystyle{ a, b, c \in G}\) mamy \(\displaystyle{ (a*b)*c = a*(b*c)}\) - łączność
2. Istnieje \(\displaystyle{ e \in G}\) takie, że dla każdego \(\displaystyle{ a \in G}\) mamy \(\displaystyle{ a*e=e*a=a}\); e to element neutralny.
3. Istnieje element odwrotny dla każdego \(\displaystyle{ a \in G}\).

Jeżeli ponadto dla każdego \(\displaystyle{ a,b \in G}\) mamy\(\displaystyle{ a*b=b*a}\) (przemienność), to G nazywamy grupą abelową.


Moje rozumowanie: Aby zbiór G można było nazwać grupą (ogólnie), w działaniu na nim opisanym musi istnieć element neutralny. Skoro element neutralny z definicji spełnia warunek \(\displaystyle{ a*e=e*a}\), to w tym konkretnym wypadku (tj. w każdym dwuelementowym podzbiorze zbioru G, zawierającym element neutralny e) działanie * spełnia warunek przemienności.

Zatem grupa nieabelowa to taka, w której zdefiniowane działanie jest przemienne wtedy, gdy jest wykonywane na elemencie neutralnym, ale istnieją przypadki, w których przemienne nie jest. Trudno mi wyobrazić sobie taką grupę. Intuicyjnie wątpię nawet, czy istnieje (jednak musi istnieć, skoro grupy abelowe są wyróżnione z ogółu grup).

I tu pojawia się moje pytanie: czy ktoś mógłby pomóc i podać przykład grupy nieabelowej (zbiór i zdefiniowane działanie)? Najlepiej w miarę "prosty" i "łopatologiczny" przykład, gdyż dopiero zaczynam mieć styczność z matematyką wyższą

[Mistrz]

Nieabelowe są na przykład grupy permutacji. Elementami takiej grupy (oznaczanej zwykle \(\displaystyle{ S_n}\)) są permutacje zbioru \(\displaystyle{ \{1,\dots,n\}}\), a działaniem jest składanie permutacji.

Konkretniej, grupa \(\displaystyle{ S_3}\) wygląda tak:
\(\displaystyle{ 123, 132, 213, 231, 312, 321}\)
Są to wszystkie permutacje zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3\}}\)
Działanie to składanie przekształceń np. \(\displaystyle{ 213 \cdot 132 = 231}\) ale \(\displaystyle{ 132 \cdot 213 = 312}\).

[tometomek91]

Kolejny przykład:
Jako zbiór \(\displaystyle{ G}\) przyjmij kilka funkcji i zdefiniuj działanie \(\displaystyle{ \circ}\) jako składanie funkcji. Wtedy np. \(\displaystyle{ f(x)=x+2}\) i \(\displaystyle{ g(x)=x^2+1}\) i \(\displaystyle{ (f \circ g)(x)=x^2+3 \neq x^2+4x+5=(g \circ f)(x)}\). Pamiętaj, że w zbiorze tym musi być element neutralny (względem składania funkcji jest to \(\displaystyle{ f(x)=x}\)) i do każdego elementu element odwrotny.

[pyzol]

No to jeszcze dorzucę grupy izometrii figur foremnych.

[mol_ksiazkowy]

Nieabelowe są na przykład grupy permutacji. Elementami takiej grupy (oznaczanej zwykle \(\displaystyle{ S_n}\)) są permutacje zbioru \(\displaystyle{ \{1,\dots,n\}}\), a działaniem jest składanie permutacji.

i gdy \(\displaystyle{ n \geq 3}\); i dlatego mozna zobaczyc wpierw jak wygłada grupa \(\displaystyle{ S_3}\)
sporzadzajac tabekle działan dla tej grupy (ma ona sześć elementów).

Inny przykład grupy nieabelowej G: zbiór par \(\displaystyle{ (a, b) \ a, b \in R}\) takich że \(\displaystyle{ a \neq 0}\) z działaniem
\(\displaystyle{ (a, b)*(c,d)= (ac, ad+b)}\)

Te i inne przyklady pozwola oswoic sie z grupami nieabelowymi...

[ultramathguitar]

Inny przykład grupy nieabelowej G: zbiór par \(\displaystyle{ (a, b) \ a, b \in R}\) takich że \(\displaystyle{ a \neq 0}\) z działaniem
\(\displaystyle{ (a, b)*(c,d)= (ac, ad+b)}\)

Dziękuję, bardzo przejrzysty przykład

[pyzol]

Znalazłeś już element odwrotny do np. \(\displaystyle{ (a,b)}\)?

[ultramathguitar]

Tak, \(\displaystyle{ ( \frac{1}{a} , \frac{-b}{a} )}\)