Nietypowe równanie różniczkowe

[MateuszS]

Witam, mam dość dziwne zadanie, nie bardzo wiem nawet o co chodzi

1. Naszkicuj rozwiązania równania różniczkowego \(\displaystyle{ t \ge 0}\) i \(\displaystyle{ x(0) = 1}\)
\(\displaystyle{ x'(t)=ax(t)
\\
\mathrm{ a)} \ a=2\\
\mathrm{ b)}\ a=1\\
\mathrm{ c) }\ a=-1}\)

[ares41]

To po kolei.
Potrafisz rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x'(t)=2x(t)}\) ?

[MateuszS]

Jedyna metoda jaką umiem się posługiwać w takim równaniu było na macierzach. Mam to w notatkach chyba. Nawet jak rozwiążę takie równanie to nie wiem o co chodzi z tym naszkicowaniem. Trzeba mi tylko metodę podsunąć

[alek160]

Propozycja na początek - zamiast podsunięcia metody..
Czy mógłbyś napisać - tak ogólnie - co masz napisane w notatkach odnośnie rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego, zwłaszcza równań o zmiennych rozdzielonych. Szczególnie interesujący jest ten moment dotyczący macierzy

Szkicowaniem funkcji jednej zmiennej \(\displaystyle{ x = f(t)}\), będącej rozwiązaniem równania różniczkowego z podanym warunkiem początkowym, zajmiemy się w następnym kroku.

Pozdrawiam.

[MateuszS]

Wszystko się sprowadza do wyznaczenia stałych c1 i c2. Mam zrobic zjecie czy jak?

[alek160]

Posłużę się metodą dydaktyczną stosowaną na forum przez jednego z kolegów.
No to jaki typ równania mamy ?
Czekam na odpowiedź.
Pozdrawiam.

[MateuszS]

Na pewno jest to pierwszego stopnia bo pochodna jest pierwszego stopnia. Niestety dowalił nam takie zadania przed wykładem i dlatego nie mam nawet odniesienia czego szukać.

[alek160]

Wiemy już, że jest to RR rzędu pierwszego. Brawo
Będę kontynuował elementarz.
Z jakim typem rownania rózniczkowego (w zadaniu) mamy do czynienia. Proponuje mały quiz.
1. Czy jest to równanie różniczkowe zwyczajne (tak-nie) - uzasadnij.
2. Czy jest to równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych (tak-nie) - uzasadnij.
3. Czy potrafisz wyznaczać całki nieoznaczone z funkcji elementarnych (tak-nie) - jeśli wybierzesz 'nie', napisz dlaczego.

Jeśli nie było tego na wykładach - musisz skorzystać z bogactwa strony 'matematyka.pl' lub Google. Jak trochę poczytasz przekonasz się, że w zakresie elementarnym nie jest to wiedza 'tajemna' tylko dla wybrańców. Niestety uczyć się trzeba !!!
Jeśli Cię to nie krępuje, napisz na jakim kierunku studiujesz i który rok studiów masz do zaliczenia
Pozdrawiam.

[MateuszS]

Na prawdę lubię się bawić w quizy i inne puzzle ale trochę mi się spieszy, chciałbym tych przykładów trochę zrobić... tak z 50 zadanych chociaż a chodzi o to że nie wiem nawet czego szukać. Co do Google wpisując "równanie różniczkowe" itd. pokazuje mi zupełnie inne kosmiczne przykłady. Studiuję Infę 2 rok.

[lukasz1804]

b) A może ten przykład coś Ci mówi? Tu musi być funkcja, której pochodna jest tą samą funkcją. Czy znasz choć jedną taką (różną od stałej) funkcję? Jeśli podasz taki przykład zauważ, że każde inne rozwiązanie różni się od podanego o stałą wielokrotność.

Pozostałe równania da się rozwiązać podobnie.

[MateuszS]

Tak to rozumiem. Pochodna funkcji jest równa jej samej pomnożonej przez stałą, jednak nie znam takiej funkcji - no właśnie prócz stałej i \(\displaystyle{ e^x}\). Tak jak pisałem, jesteśmy przed wykładem ale prowadzącego ćwiczenia to nie interesuje, w końcu skoro umiemy się teleportować 500m w sekundę to pewnie i takie rzeczy nie są nam obce.

Chciałem to obustronnie zcałkować ale nie bardzo się da i raczej jest to zły pomysł

[alek160]

Oczekując pomocy musisz najpierw pokazać swoją pracę.
Podpowiedziałem Ci, że jest możliwość skorzystania z bogactwa forum ' matematyka.pl '
Gdybyś wykazał odrobinę chęci to byś znalazł rozwiązanie swojego zadania wraz z objaśnieniami.
Jeśli chodzi o Google to trzeba wpisywać bardziej precyzyjne hasła.
Ty zaś wyłącznie liczysz na gotowca wykręcając się argumentem, że niczego nie rozumiesz.
Trudno przy takiej postawie liczyć na konkretną darmową pomoc w przyszłości.
Przyjmij do wiadomości, że metoda rozwiązania równania różniczkowego, zależy od typu równania, trzeba się tego nauczyć. Rozróżnienie typu równania nie zawsze jest takie proste ' na pierwszy rzut oka '. Potrzebna jest znajomość teorii i doświadczenie.
W drodze wyjątku udzielę Ci skutecznej pomocy, tylko ze względu na to, że zadanie nie wymaga poświęcenia dużego czasu.
Równanie różniczkowe, podane w zadaniu,
\(\displaystyle{ 1. \quad \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t } = a \cdot x}\)
jest typu ...
- zwyczajne, rzędu pierwszego
- liniowe
- jednorodne
- o zmiennych rozdzielonych
Równanie różniczkowe [1.] po rozdzieleniu zmiennych
\(\displaystyle{ 2. \quad \frac{ \mbox{d}x }{ x } = a \cdot \mbox{d}t}\)

-- 5 paź 2012, o 06:35 --

Część 2
Równanie różniczkowe [2.] po rozdzieleniu zmiennych możemy całkować stronami.
\(\displaystyle{ 3. \quat \int \frac{ \mbox{d}x }{x} = \int a \cdot \mbox{d}t + C}\)
gdzie:
C - stała całkowania wyznacza rodzinę funkcji x(t) na układzie współrzędnych Kartezjańskich \(\displaystyle{ \left( t0x\right)}\)
Po scałkowaniu stronami otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ 4. \quad \ln \left| x\right| = at +C}\)
Wygodniej jest w tym konkretnym przypadku, przyjąć stałą całkowania w postaci, \(\displaystyle{ C = \ln \left| C _{1} |\right}\)
Upraszcza to postać całki ogólnej równania różniczkowego [1.], która przedstawia się następująco..
\(\displaystyle{ 5. \quad x(t) = C _{1} \cdot a \cdot \exp \left( at \right) \Longrightarrow}\) nazwa własna całki ogólnej CORR
Stałą całkowania, \(\displaystyle{ C _{1}}\) w CORR [5.] wyznaczamy na podstawie podanego warunku początkowego
\(\displaystyle{ 6. \quad x(0) = 1}\)
Wstawiając warunek początkowy [6.] do równania [5.] otrzymujemy stałą całkowania, C1
\(\displaystyle{ 7. \quad C _{1} = \frac{1}{a}}\)
Po uwzględnieniu stałej całkowania [7.] w CORR [5.] otrzymamy ostateczną postać całki szczególnej równania różniczkowego [1.]
\(\displaystyle{ 8. \quad x(t) = \exp \left( at \right) \Longrightarrow}\) nazwa własna całki szczególnej CSRR

W zadaniu współczynnik (a) przyjmuje trzy wartości, stanowią one parametr całki szczególnej CSRR [8.]
\(\displaystyle{ a = \left[ 2, 1, -1\right]}\)
Dla tych trzech wartości parametru (a) należy narysować trzy krzywe w układzie Kartezjańskim (t0x). Każda z tych krzywych bierze swój początek w układzie współrzędnych w tym samym punkcie nazwanym w zadaniu jako warunek początkowy RR, patrz [6.]

-- 5 paź 2012, o 07:11 --

Część 3
Na zakończenie w dobrym stylu jest sprawdzenie, czy wyznaczone całki - CORR [5.] oraz CSRR [8.] spełniają równanie różniczkowe [1.]. Daje to gwarancję właściwego rozwiązania równania różniczkowego [1.]
Niżej przedstawiam przykład sprawdzenia CSRR [8.]
Wstawiamy CSRR [8.] do równania różniczkowego [1.]
Lewa strona równania [1.] przedstawia się natępująco:
\(\displaystyle{ L = \left( \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}t } \right) = a \cdot \exp (at)}\)
Prawa strona równania [1.] przedstawia się natępująco:
\(\displaystyle{ P = \left( a \cdot x } \right) = a \cdot \exp (at)}\)
Wniosek:
\(\displaystyle{ L = P}\)

Pozdrawiam.

[MateuszS]

Doceniam, tzw. napracowanie i dziękuję ale proszę postaw się teraz w mojej sytuacji. Nie mam pojęcia skąd Ci sie to wszystko wzięło - zrozumiałem do 2 punktu włącznie, potem tych całek ZSRR już nie bardzo... Scałkowałeś obustronnie, co wydaje się logiczne, potem po tych współrzędnych nie wiem o co chodzi a już w ogóle dlaczego za C podstawiłeś logarytm? Nie da się tego jakoś prościej bez całek CORR? Nie sądzę żeby nawet nasz facet wymagał tak zaawansowanej i skomplikowanej teorii juź na pierwszych ćwiczeniach przed wykładem. W 8 pkcie myślałem że to są 3 podpunkty a to jakieś parametry. Jakbyś mógł te parę punktów jakoś prościej wytłumaczyć byłbym wdzięczny.

Pozdrawiam i dzięki