zbieżność całki niewłaściwej, problem z granicą

[hakunamatata]

Mam problem z określeniem zbieżności całki z definicji:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{e} \frac{\sin(\ln x)}{x} dx}\)

I kolejno:

\(\displaystyle{ Df \left( 0, \infty \right)}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\sin(\ln x)}{x} dx=-\cos(\ln x)+c}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ \alpha \to 0+} \int_{ \alpha }^{e} \frac{\sin(\ln x)}{x} dx=-\cos(\ln e)-\left( -\cos(\ln 0^+ )\right)= 0^+ ?}\)

I tu pojawia się problem z obliczeniem granicy \(\displaystyle{ -\cos (\ln 0^+)}\)

proszę o wskazówki

[Adifek]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{e} \frac{\sin(\ln x)}{x} \ \mbox{d}x = \int_{-\infty}^{1}
\sin x \ \mbox{d}x}\)

A ta całka nie istnieje.

@down:
Podstawiłem \(\displaystyle{ t= \ln x}\).

[hakunamatata]

Nie rozumiem tego przekształcenia. Możesz dodać do niego komentarz?

[Mistrz]

Podstawienie \(\displaystyle{ t = \ln x}\). Wtedy \(\displaystyle{ \hbox{d}t = \frac{\hbox{d}x}{x}}\).

[hakunamatata]

Ok, to jasne, ale skąd zmiana granic?
Funkcja sinus ma wartości z zakresu \(\displaystyle{ \left( -1;\right1)}\), stąd górna wynosi \(\displaystyle{ 1}\)? A co z \(\displaystyle{ -\infty}\)

[Adifek]

Po pierwsze nie \(\displaystyle{ (-1,1)}\), tylko \(\displaystyle{ [-1,1]}\). Po drugie nas sinus nie obchodzi. Interesuje nas logarytm, bo za niego podstawiamy.

\(\displaystyle{ \ln e =1, \qquad \lim_{x\to 0^{+}} \ln x =-\infty}\)

[hakunamatata]

Rozumiem, granica zmienia się wraz z podstawieniem. Stąd błąd Dziękuję.