Pochodne,działka i rzeka

[Sebastiano]

Prosiłbym o sprawdzenie zadania i o ewentualne uwagi

Jakie powinny być wymiary prostokątnego pola o pow.=5, którego naturalnym bokiem jest koryto rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć najmniej siatki. Od strony rzeki nie ma płotu.

Za bok \(\displaystyle{ a}\) przyjąłem dwa krótsze, natomiast bok \(\displaystyle{ b}\) dłuższy i na przeciw od strony rzeki.

\(\displaystyle{ P=5}\)
\(\displaystyle{ P=a \cdot b}\)

\(\displaystyle{ 5=a \cdot b}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{5}{a}}\)

\(\displaystyle{ Obw.=2a+2b}\)
\(\displaystyle{ 2a+2 \frac{5}{a}=(2a+ \frac{10}{a})'=2+ \frac{10}{a ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ 2+ \frac{10}{a ^{2} }=0}\) \(\displaystyle{ | \cdot a^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2a ^{2}+10=0}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}= \frac{10}{2}}\)
\(\displaystyle{ a=\sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ b= \frac{5}{\sqrt{5} }= \frac{5 \sqrt{5} }{ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}= \frac{ \sqrt{5} }{5}}\)

Odp.Długość siatki wynosi: \(\displaystyle{ 2a+b=2 \sqrt{5}+ \frac{ \sqrt{5} }{2}}\)

[Lorek]

Za bok \(\displaystyle{ a}\) przyjąłem dwa krótsze, natomiast bok \(\displaystyle{ b}\) dłuższy i na przeciw od strony rzeki.

Pytanie pozakonkursowe: dlaczego \(\displaystyle{ a}\) ma być krótsze od \(\displaystyle{ b}\)? (szczególnie, że w Twoim rozwiązaniu wychodzi na odwrót)

\(\displaystyle{ Obw.=2a+2b}\)
\(\displaystyle{ 2a+2 \frac{5}{a}=(2a+ \frac{10}{a})'=2+ \frac{10}{a ^{2} }}\)

No chyba jednak obwód \(\displaystyle{ =2a+b}\) skoro od rzeki nie ma płotu.

\(\displaystyle{ b= \frac{5}{\sqrt{5} }= \frac{5 \sqrt{5} }{ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}= \frac{ \sqrt{5} }{5}}\)

Na pewno?

[kamil13151]

\(\displaystyle{ 2a+2 \frac{5}{a}=(2a+ \frac{10}{a})'=2+ \frac{10}{a ^{2} }}\)

Również taki zapis jest naganny, skąd równość? Pochodna też źle obliczona.

[Sebastiano]

\(\displaystyle{ 2a+2 \frac{5}{a}=(2a+ \frac{10}{a})'=2+ \frac{10}{a ^{2} }}\)

Również taki zapis jest naganny, skąd równość? Pochodna też źle obliczona.

A no tak, troche się pośpieszyłem.
W pochodnej ma być:
\(\displaystyle{ (2a+ \frac{10}{a})'=2- \frac{10}{a ^{2} }}\)

-- 18 wrz 2012, o 18:13 --

\(\displaystyle{ Obw.=2a+2b}\)
\(\displaystyle{ 2a+2 \frac{5}{a}=(2a+ \frac{10}{a})'=2+ \frac{10}{a ^{2} }}\)
No chyba jednak obwód \(\displaystyle{ =2a+b}\) skoro od rzeki nie ma płotu.

No tak, tylko pytanie czy potem mogę przyrównać pole \(\displaystyle{ a \cdot b}\) do obwodu \(\displaystyle{ 2a+b}\).? Bo ostatecznie i tak mogę przecież odjąć od wyniku bok którym jest rzeka i wyjdzie długość ogrodzenia.

-- 18 wrz 2012, o 18:29 --

\(\displaystyle{ b= \frac{5}{\sqrt{5} }= \frac{5 \sqrt{5} }{ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}= \frac{ \sqrt{5} }{5}}\)

Na pewno?

Tu tez pomyłka:
\(\displaystyle{ b= \frac{5}{\sqrt{5} }= \frac{5 \sqrt{5} }{ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}= \sqrt{5}}\)

Tylko teraz wynika że prostokąt okazał się kwadratem;/