Pochodna z definicji funkcji 2 zmiennych

[Voltago]

Obliczyć pochodne cząstkowe po x oraz y dla pkt (0,0)
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{x+ 2y^{3} }{ x^{2}+y^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} \lim_{ h\to 0 } \frac{\frac{x+h+2y^{3} }{ (x+h)^{2}+y^{2} }-\frac{x+ 2y^{3} }{ x^{2}+y^{2} }}{h}=\lim_{ h\to 0 } \frac{ \frac{h}{ h^{2} } }{h}= \infty}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} \lim_{ h\to 0 } \frac{\frac{x+2 \cdot (y+h)^{3} }{ x^{2}+(y+h)^{2} }-\frac{x+ 2y^{3} }{ x^{2}+y^{2} }}{h}=\lim_{ h\to 0 } \frac{ \frac{2h^{3}}{ h^{2} } }{h}=2}\)

Czy mógłby ktoś sprawdzić? Mam wątpliwości co do poprawności mojego rozwiązania. Funkcja jest nieciągła w pkt (0,0) a jedna pochodna wychodzi liczbą całkowitą?

[Lorek]

To, że funkcja jest nieciągła w \(\displaystyle{ (0,0)}\) nie wyklucza istnienia pochodnych cząstkowych. Nie wiem, co chciałeś policzyć, ale tak pochodnych w \(\displaystyle{ (0,0)}\) nie wyznaczysz. Jaka jest w ogóle wartość funkcji w tym punkcie?

[Voltago]

Funkcja nie istnieje w punkcie (0,0). Punkt ten jest jakby wykluczony z dziedziny więc pytanie o ogólną wartość w tym punkcie nie ma sensu?
Jak to nie wyznaczę w ten sposób pochodnych cząstkowych? Prosty wzór z wikipedii nie rozumiem co nie gra.

[Lorek]

Jak nie istnieje wartość to nie policzysz pochodnych cząstkowych. To co napisałeś to owszem jest wzór na pochodną cząstkową, ale w dowolnym punkcie, dla którego zachodzi \(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{x+ 2y^{3} }{ x^{2}+y^{2} }}\). Jako, że dla \(\displaystyle{ (0,0)}\) ten wzór nie ma zastosowania, to i cały wzór jest niepoprawny.

[Voltago]

Więc co powinienem napisać na egzaminie gdzie każą mi policzyć pochodne cząstkowe w tych punktach?
Tzn jak udowodnić, że w tych pktach pochodna nie istnieje?

-- 16 wrz 2012, o 18:25 --

Wymyśliłem coś takiego:
\(\displaystyle{ x=y \Rightarrow x=a, y=a}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ a\to 0 } \frac{a+2a^{3} }{ 2a^{2} }= \lim_{ a\to0 } 2a + \lim_{ a\to0 } \frac{1}{2a}}\)

i lecimy teraz dla:
\(\displaystyle{ \lim_{a \to0_{+}} =+ \infty }}\)
\(\displaystyle{ \lim_{a \to0_{-}} =- \infty }}\)
lewostronna nie jest równa prawostronnej i funkcja jest nieróżniczkowalna w danym punkcie.
Czy to jest odpowiedź do zadania?

e: chyba nie bo własnie udowodniłem, że dla każdego x=y pochodna tej funkcji nie istnieje



e2: Znalazłem odpowiedź tutaj: 248109.htm ostatni post

dzięki Panie Lorek za wprowadzenie w błąd;)
da się przydzielać punkty ujemne?

[norwimaj]

e2: Znalazłem odpowiedź tutaj: 248109.htm ostatni post

dzięki Panie Lorek za wprowadzenie w błąd;)

Nikt Cię nie wprowadził w błąd. W przytoczonym przez Ciebie wątku definicja funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest inna.

da się przydzielać punkty ujemne?

Jak się postarasz, to może kiedyś będziesz mógł. 30707.htm

[Lorek]

Nie ma to jak się odnosić do zupełnie innego przykładu, twierdząc, że w tym jest błąd. Możesz mi pokazać gdzie ten błąd?

[Voltago]

ok niech wam będzie
nie dopisałem oczywistego
\(\displaystyle{ 0}\)dla\(\displaystyle{ (x,y)=(0,0)}\)
ale przykład jest praktycznie ten sam

[norwimaj]

\(\displaystyle{ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}h.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x=y=0}\), to nie możesz w tym wzorze wstawić \(\displaystyle{ \frac{x+ 2y^{3} }{ x^{2}+y^{2} }}\) za \(\displaystyle{ f(x,y)}\), bo \(\displaystyle{ f(0,0)}\) nie jest równe \(\displaystyle{ \frac00}\), tylko "oczywiście" \(\displaystyle{ 0}\).