Witam. Rozwiązuję zadanie ze zbioru o treści "Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = z^{2}}\) w zbiorze liczb naturalnych. Podaj ogólne wzory dla \(\displaystyle{ x, y, z}\)". Muszę zatem znaleźć ogólne wzory pozwalające na wyprowadzenie wszystkich możliwych trójek pitagorejskich. Rozwiązałem to tak:
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = z^{2}}\)
\(\displaystyle{ y^{2} = (z+x)(z-y)}\)
Liczby \(\displaystyle{ z+x}\), \(\displaystyle{ z-x}\) przyjmują zawsze postać (\(\displaystyle{ na^{2}}\), \(\displaystyle{ nb^{2}}\)), gdzie \(\displaystyle{ n,a,b \in \mathbb{N}}\). Wtedy \(\displaystyle{ y=nab}\)
\(\displaystyle{ +\begin{cases}z+y=na^{2}\\z-y=nb^{2}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 2z=na^2+nb^2}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{n(a^2+b^2)}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=na^2-z}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{2na^2-na^2+nb^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{n(a^2+b^2)}{2}}\)
\(\displaystyle{ y=nab}\)
Zatem wszystkie trójki pitagorejskie znajdziemy wykorzystując wzory:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=\frac{n(a^2-b^2)}{2}\\y=nab\\x=\frac{n(a^2+b^2)}{2}\end{cases}}\) gdzie \(\displaystyle{ 2|n(a^2+b^2)}\) i \(\displaystyle{ a\geqslant b}\)
Na i w rozwiązaniu w zbiorze wychodzą podobne wzory (na Wikipedii są dla trójek pierwotnych), jednak mam wrażenie, że rozwiązania są bardziej skomplikowane niż moje. Czy skorzystałem z jakiegoś "nielegalnego" skrótu, czy moje rozwiązanie jest w pełni poprawne?
PS. Dobry dział?