Objętość czworościanu
Objętość czworościanu
Dany jest punkt \(\displaystyle{ A=\left( 0,3,1\right)}\) zaś punkty \(\displaystyle{ B,C,D}\) są obrazami punktu A poprzez symetrię odpowiednio względem punktu \(\displaystyle{ O=\left( 1,1,1\right)}\), prostej \(\displaystyle{ l:\left( x,y,x\right)+\left( 5,0,1\right) +t\left( 1,0,2\right), t \in R}\) i płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi : 2x-2y+z-4=0}\). Obliczyć objętość czworościanu \(\displaystyle{ ABCD}\).
Ostatnio zmieniony 14 wrz 2012, o 13:50 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Poprawa wiadomości.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Poprawa wiadomości.
-
sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
Objętość czworościanu
B:
\(\displaystyle{ \left[ 1,1,1 \right] = \left[ \frac{0+a}{2}, \frac{3+b}{2}, \frac{1+c}{2} \right]}\)
\(\displaystyle{ B \left( 2, -1, 1 \right)}\)
C:
Niech \(\displaystyle{ \left( a,b,c \right)}\) - rzut prostokątny punktu \(\displaystyle{ A}\) na daną prostą
\(\displaystyle{ \left[ a-0, b-3, c-1 \right] \circ \left[ 1,0,2 \right] = 0}\)
\(\displaystyle{ a + 2c - 2 = 0}\), z drugiej strony dla pewnego \(\displaystyle{ t \in \mathbb R}\) mamy \(\displaystyle{ a = 5 + t, c = 1 + 2t}\), wstawiamy te wyrażenia do wcześniejszego wzoru i dostajemy \(\displaystyle{ t=-1}\). Zatem \(\displaystyle{ \left( a,b,c \right) = \left( 4,0,-1 \right)}\).
\(\displaystyle{ \left[ 4,0,-1 \right] = \left[ \frac{0+x}{2}, \frac{3+y}{2}, \frac{1+z}{2} \right]}\)
\(\displaystyle{ C \left( x,y,z \right) = C \left( 8, -3, -3 \right)}\)
wreszcie prosta prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi : 2x-2y+z-4=0}\) i przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ A}\) ma równanie \(\displaystyle{ \left[ 2,-2,1 \right] t + \left[ 0,3,1 \right] = \left[ 2t, 3-2t, 1+t \right]}\).
Wstawiamy do równania na \(\displaystyle{ \pi}\) odpowiednio \(\displaystyle{ 2t, 3-2t, 1+t}\) i dostajemy \(\displaystyle{ t=1}\) i punkt przecięcia \(\displaystyle{ \left( 2,1,2 \right)}\)
\(\displaystyle{ \left[ 2,1,2 \right] = \left[ \frac{0+x}{2}, \frac{3+y}{2}, \frac{1+z}{2} \right]}\)
\(\displaystyle{ D \left( x,y,z \right) = C \left( 4, -1, 3 \right)}\)
Pozostaje wypełnić wzór na objętość czworościanu
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{6}\left| \left( \vec{AB} \circ \left( \vec{AC} \times \vec{AD} \right) \right|}\)
\(\displaystyle{ \left[ 1,1,1 \right] = \left[ \frac{0+a}{2}, \frac{3+b}{2}, \frac{1+c}{2} \right]}\)
\(\displaystyle{ B \left( 2, -1, 1 \right)}\)
C:
Niech \(\displaystyle{ \left( a,b,c \right)}\) - rzut prostokątny punktu \(\displaystyle{ A}\) na daną prostą
\(\displaystyle{ \left[ a-0, b-3, c-1 \right] \circ \left[ 1,0,2 \right] = 0}\)
\(\displaystyle{ a + 2c - 2 = 0}\), z drugiej strony dla pewnego \(\displaystyle{ t \in \mathbb R}\) mamy \(\displaystyle{ a = 5 + t, c = 1 + 2t}\), wstawiamy te wyrażenia do wcześniejszego wzoru i dostajemy \(\displaystyle{ t=-1}\). Zatem \(\displaystyle{ \left( a,b,c \right) = \left( 4,0,-1 \right)}\).
\(\displaystyle{ \left[ 4,0,-1 \right] = \left[ \frac{0+x}{2}, \frac{3+y}{2}, \frac{1+z}{2} \right]}\)
\(\displaystyle{ C \left( x,y,z \right) = C \left( 8, -3, -3 \right)}\)
wreszcie prosta prostopadła do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi : 2x-2y+z-4=0}\) i przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ A}\) ma równanie \(\displaystyle{ \left[ 2,-2,1 \right] t + \left[ 0,3,1 \right] = \left[ 2t, 3-2t, 1+t \right]}\).
Wstawiamy do równania na \(\displaystyle{ \pi}\) odpowiednio \(\displaystyle{ 2t, 3-2t, 1+t}\) i dostajemy \(\displaystyle{ t=1}\) i punkt przecięcia \(\displaystyle{ \left( 2,1,2 \right)}\)
\(\displaystyle{ \left[ 2,1,2 \right] = \left[ \frac{0+x}{2}, \frac{3+y}{2}, \frac{1+z}{2} \right]}\)
\(\displaystyle{ D \left( x,y,z \right) = C \left( 4, -1, 3 \right)}\)
Pozostaje wypełnić wzór na objętość czworościanu
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{6}\left| \left( \vec{AB} \circ \left( \vec{AC} \times \vec{AD} \right) \right|}\)
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2012, o 11:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Skaluj nawiasy.
Powód: Skaluj nawiasy.