2 całki do rozwiazania przez podstawienie i przez czesci...

[czarnq]

1) \(\displaystyle{ \int\,\frac{e^{2x}\,+\,1}{e^{2x}\,-\,1}}\)
2) \(\displaystyle{ \int\,e^{x}cosx}\)

[juzef]

1) \(\displaystyle{ \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=-1+\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}+1=-1+\frac{2\cdot e^{2x}}{e^{2x}-1}}\)
Dalej przez podstawienie \(\displaystyle{ e^{2x}-1=t}\).

Drugie napiszę, kiedy zmienisz temat na regulaminowy.

[czarnq]

co do tej odpowiedz to ja w rozwiazaniach w zbiorze zadan mam napisane ze powinno wyjsc: \(\displaystyle{ -x\,+\,ln|e^{2x}\,-\,1|}\) a wiec cos jest nie tak. a co do tego tematu to nie wiem co ci nie pasuje

[juzef]

Ja napisałem wskazówkę, a nie rozwiązanie.
\(\displaystyle{ \int \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}dx=\int (-1+\frac{2\cdot e^{2x}}{e^{2x}-1})dx=-x+\int \frac{2\cdot e^{2x}}{e^{2x}-1}dx}\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ e^{2x}-1=t\\2e^{2x}dx=dt}\)

Czyli: \(\displaystyle{ \int \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}dx=-x+\int \frac{dt}{t}=-x+ln|t|=-x+ln|e^{2x}-1|}\)
W regulaminie znajdziesz zasady pisania tematów.

[Tomasz Rużycki]

Druga przez części.


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[czarnq]

czy moze ktos pomoc rozwiazac mi przyklad nr 2, albo jakies wskazowki, bo utknalem na nim, a kolejne przyklady sa tego typu.

[juzef]

Przez części ją dwa razy.
\(\displaystyle{ \int e^x cos(x) dx=e^xcos(x)+\int e^xsin(x)dx=e^xcos(x)+e^xsin(x)-\int e^xcos(x)dx}\).
Przenosimy \(\displaystyle{ -\int e^xcos(x)dx}\) na drugą stronę i dostajemy \(\displaystyle{ 2\int e^x cos(x) dx=e^xcos(x)+e^xsin(x)}\)
\(\displaystyle{ \int e^x cos(x) dx=\frac{e^x(sin(x)+cos(x))}{2}}\).

[Mariusz M]

1) \(\displaystyle{ \int\,\frac{e^{2x}\,+\,1}{e^{2x}\,-\,1}}\)
2) \(\displaystyle{ \int\,e^{x}cosx}\)

Pierwsza całka

\(\displaystyle{ \int{\coth{x}dx} = \int{\frac{\cosh{x}}{\sinh{x}}dx}= \left| \begin{array}{c} t=\sinh{x} & \mbox{d}t=\cosh{x}\mbox{d}x\end{array} \right|= \int{ \frac{\cosh{x}}{t\cosh{x}} \mbox{d}t}= \int{ \frac{1}{t} \mbox{d}t} =\ln{t}+C=\ln{\sinh{x}}+C}\)

Druga całka

\(\displaystyle{ \int{e^{x}\cos{x}\mbox{d}x=} \left| \begin{array}{cc} u=\cos{x}&\mbox{d}v=e^{x} \\ \mbox{d}u=-\sin{x} & v=e^{x}\end{array} \right|=e^{x}\cos{x}+ \int{e^{x}\sin{x}}}\)

\(\displaystyle{ \int{e^{x}\cos{x}\mbox{d}x=} \left| \begin{array}{cc} u=e^{x}&\mbox{d}v=\cos{x} \\ \mbox{d}u=e^x & v=\sin{x}\end{array} \right|=e^{x}\sin{x}-\int{e^{x}\sin{x}}}\)

Po dodaniu tych całek otrzymamy

\(\displaystyle{ 2 \int{e^{x}\cos{x}\mbox{d}x}= e^x\cos{x}+e^{x}\sin{x}}\)

\(\displaystyle{ \int{e^{x}\cos{x}\mbox{d}x}= \frac{1}{2} e^x\left(cos{x}+\sin{x}\right)}\)