Rozwiąż równanie

Czingisham · Post autor: **Czingisham** » 13 wrz 2012, o 18:10

\(\displaystyle{ y''+2y'+y=x^{2}+x+1 \\ k^{2}+2k+1=0 \ \ k=-1 \\ y_{1,2}= e^{-x} \\ y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-x} \\ W(x)=e^{-2x} \\ C_{1}=- \int_{}^{} \frac{e^{-x}(x^{2}+x+1)}{e^{-2x}}= -(\frac{1}{3}e^{x}+ \frac{1}{2}x^{2}+x) \\ C_{2}=\int_{}^{} \frac{e^{-x}(x^{2}+x+1)}{e^{-2x}}=(\frac{1}{3}e^{x}+ \frac{1}{2}x^{2}+x) \\ y=0}\)

Bankowo jest źle ,co jest nie tak z moimi rachunkami ?

bb314 · Post autor: **bb314** » 13 wrz 2012, o 18:27

Czingisham pisze:\(\displaystyle{ y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-x}}\)

Bankowo jest źle ,co jest nie tak z moimi rachunkami ?

powinno być
\(\displaystyle{ y=C_{1}e^{-x}+C_{2}xe^{-x}}\)

Czingisham · Post autor: **Czingisham** » 13 wrz 2012, o 18:29

i tyle ?

bb314 · Post autor: **bb314** » 13 wrz 2012, o 18:50

nie, to jest dopiero rozwiązanie ogólne

teraz rozwiązanie przewidywane, jest postaci
\(\displaystyle{ y=ax^2+bx+c}\)

Czingisham · Post autor: **Czingisham** » 13 wrz 2012, o 19:16

Nie rozumiem . Myślałem ,że jak wyliczę te stałe to po sprawie , możesz mi wytłumaczyć o.c.b. ?

bb314 · Post autor: **bb314** » 13 wrz 2012, o 20:23

\(\displaystyle{ y=ax^2+bx+c}\)
\(\displaystyle{ y'=2ax+b}\)
\(\displaystyle{ y''=2a}\)

\(\displaystyle{ y''+2y'+y=x^2+x+1}\)
\(\displaystyle{ 2a+2(2ax+b)+ax^2+bx+c\equiv x^2+x+1}\)
\(\displaystyle{ ax^2+(4a+b)x+2a+2b+c\equiv x^2+x+1}\)
\(\displaystyle{ a=1\ \ \ \ \ 4a+b=1\ \ \ \ \ 2a+2b+c=1\ \ \ \ \to\ \ \ \ a=1\ \ \ b=-3\ \ \ c=5}\)

\(\displaystyle{ y_s=x^2-3x+5}\)

\(\displaystyle{ y=y_o+y_s\ \ \ \ \to\ \ \ \ \color{blue}y=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}+x^2-3x+5}\)