Obliczyć całkę.
-
sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
Obliczyć całkę.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} (\sqrt{r ^{2}-x ^{2} }) ^{3}dx = \ldots}\)
Podstawienie \(\displaystyle{ \sqrt{r^2 - x^2} = xt - r}\) prowadzi do \(\displaystyle{ x = \frac{2tr}{t^2+1}}\)
czyli \(\displaystyle{ \sqrt{r^2 - x^2} = \frac{2t^2r}{t^2+1} - r}\)
Dalej \(\displaystyle{ dx = \frac{2r (1-t^2)}{(1+t^2)^2} dt}\) i sprowadzamy całkę do całki wymiernej
Podstawienie \(\displaystyle{ \sqrt{r^2 - x^2} = xt - r}\) prowadzi do \(\displaystyle{ x = \frac{2tr}{t^2+1}}\)
czyli \(\displaystyle{ \sqrt{r^2 - x^2} = \frac{2t^2r}{t^2+1} - r}\)
Dalej \(\displaystyle{ dx = \frac{2r (1-t^2)}{(1+t^2)^2} dt}\) i sprowadzamy całkę do całki wymiernej
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
Obliczyć całkę.
Tutaj można rozbić na sumę dwóch całek i przez części
\(\displaystyle{ =r^2\int{ \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x }-\int{x^2 \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x }\\
-\int{x^2 \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x }=-\frac{x^3}{3} \sqrt{r^2-x^2}-\frac{1}{3}\int{ \frac{x^4}{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }\\
-\int{x^2 \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x }=-\frac{x^3}{3} \sqrt{r^2-x^2}+\frac{1}{3}\left( \int{ \frac{r^2x^2-x^4}{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }-r^2\int{\frac{x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} }}\right)\\
\frac{2}{3}\int{\left( -x^2\right) \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x}= -\frac{x^3}{3} \sqrt{r^2-x^2}-\frac{1}{3}r^2\int{\frac{x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }\\
\int{\frac{-x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }=x \sqrt{r^2-x^2}-\int{ \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x }\\
\int{\frac{-x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }=x \sqrt{r^2-x^2}-\int{ \frac{r^2-x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }\\
2\int{\frac{-x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }= x \sqrt{r^2-x^2}-r^2 \int{ \frac{ \frac{1}{r} \mbox{d}x }{ \sqrt{1-\left( \frac{x}{r} \right)^2 } } }\\
\int{\frac{-x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }= \frac{1}{2}\left(x \sqrt{r^2-x^2}-r^2\arcsin{\left( \frac{x}{r} \right) } \right)+C\\
\int{ \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x }=x \sqrt{r^2-x^2}-\int{ \frac{\left( -x^2\right) }{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }\\
\int{ \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x }=x \sqrt{r^2-x^2}-\left( \int{ \frac{\left(r^2 -x^2\right) }{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }-r^2\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{r^2-x^2} } }\right) \\
2\int{ \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x }=x \sqrt{r^2-x^2}+r^2\int{\frac{ \frac{1}{r} \mbox{d}x }{\sqrt{1-\left( \frac{x}{r} \right)^2 }}} \\
\int{ \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x }= \frac{1}{2}\left(x \sqrt{r^2-x^2}+r^2\arcsin{\left( \frac{x}{r} \right) } \right)+C}\)
\(\displaystyle{ =r^2\int{ \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x }-\int{x^2 \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x }\\
-\int{x^2 \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x }=-\frac{x^3}{3} \sqrt{r^2-x^2}-\frac{1}{3}\int{ \frac{x^4}{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }\\
-\int{x^2 \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x }=-\frac{x^3}{3} \sqrt{r^2-x^2}+\frac{1}{3}\left( \int{ \frac{r^2x^2-x^4}{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }-r^2\int{\frac{x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} }}\right)\\
\frac{2}{3}\int{\left( -x^2\right) \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x}= -\frac{x^3}{3} \sqrt{r^2-x^2}-\frac{1}{3}r^2\int{\frac{x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }\\
\int{\frac{-x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }=x \sqrt{r^2-x^2}-\int{ \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x }\\
\int{\frac{-x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }=x \sqrt{r^2-x^2}-\int{ \frac{r^2-x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }\\
2\int{\frac{-x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }= x \sqrt{r^2-x^2}-r^2 \int{ \frac{ \frac{1}{r} \mbox{d}x }{ \sqrt{1-\left( \frac{x}{r} \right)^2 } } }\\
\int{\frac{-x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }= \frac{1}{2}\left(x \sqrt{r^2-x^2}-r^2\arcsin{\left( \frac{x}{r} \right) } \right)+C\\
\int{ \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x }=x \sqrt{r^2-x^2}-\int{ \frac{\left( -x^2\right) }{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }\\
\int{ \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x }=x \sqrt{r^2-x^2}-\left( \int{ \frac{\left(r^2 -x^2\right) }{ \sqrt{r^2-x^2} } \mbox{d}x }-r^2\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{r^2-x^2} } }\right) \\
2\int{ \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x }=x \sqrt{r^2-x^2}+r^2\int{\frac{ \frac{1}{r} \mbox{d}x }{\sqrt{1-\left( \frac{x}{r} \right)^2 }}} \\
\int{ \sqrt{r^2-x^2} \mbox{d}x }= \frac{1}{2}\left(x \sqrt{r^2-x^2}+r^2\arcsin{\left( \frac{x}{r} \right) } \right)+C}\)