całka Lebesgue'a

[lavena]

Mam sprawdzić, czy prawdziwe jest następujące stwierdzenie:
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \Sigma, \mu \right)}\) będzie przestrzenią miary i niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow \overline{R}}\) będzie funkcją mierzalną. Jeżeli \(\displaystyle{ \int_{X}\left| f\right|d\mu< +\infty}\), to \(\displaystyle{ \mu\left( \left\{ x \in X: f\left( x\right)=+ \infty \right\} \right)=0}\).

Oto moje rozwiązanie, chciałabym poprosić o zweryfikowanie jego poprawności. Wątpliwości pojawiają się głównie przy fragmencie ze zbieżnością \(\displaystyle{ \mu\left( A _{k} \right)}\).

Niech \(\displaystyle{ A=\left\{ x \in X: f\left( x\right)=+ \infty \right\}}\) oraz \(\displaystyle{ A _{k}=\left\{ x \in X: f\left( x\right)>k \right\}}\) dla \(\displaystyle{ k \in N}\). Wtedy \(\displaystyle{ A _{1} \supset A _{2} \supset ...}\) oraz \(\displaystyle{ A= \bigcap_{k=1}^{ \infty }A _{k}}\).
Dla dowolnego \(\displaystyle{ k \in N}\) mamy:
\(\displaystyle{ \infty >\int_{X}\left| f \right|d\mu \ge | \int_{X}\left fd\mu| \ge | \int_{A _{k} }\left fd\mu|=| \int_{X}\left f \cdot \chi _{A _{k} } d\mu| \ge | \int_{X}\left k \cdot \chi _{A _{k} } d\mu |=k\mu\left( A _{k} \right)}\),
gdzie \(\displaystyle{ \chi _{A _{k} }}\) to funkcja charakterystyczna zbioru \(\displaystyle{ A _{k}}\).
Załóżmy, że ciąg \(\displaystyle{ \left\{ \mu\left( A _{k} \right) \right\} _{k=1} ^{ \infty }}\) nie jest zbieżny do 0. Wtedy \(\displaystyle{ \lim_{k \to \infty }k\mu\left( A _{k} \right) = \infty}\) (?)
i otrzymujemy sprzeczność.
Zatem \(\displaystyle{ \lim_{ k\to \infty }\mu\left( A _{k} \right)=0}\) oraz \(\displaystyle{ \mu\left( A\right)=\mu\left( \bigcap_{k=1}^{ \infty }A _{k} \right)= \lim_{ k\to \infty }\mu\left( A _{k} \right)}\) (fakt z teorii miary), czyli \(\displaystyle{ \mu(A)=0}\)

[Adifek]

Ja tu sprzeczności nie widzę...
Nierówność jest prawdziwa dla każdego k. Za bardzo kombinujesz.

Niech \(\displaystyle{ A=\left\{ x \in X: f\left( x\right)=+ \infty \right\}}\).
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \mu\left( \left\{ x \in X: f\left( x\right)=+ \infty \right\} \right)>0}\)

\(\displaystyle{ \int_{X}|f|d \mu = \int_{X}f^{+}+f^{-}d \mu \ge \int_{X}f^{+} d \mu \ge \int_{A}f^{+} d \mu = \mu (A) \cdot \infty = \infty}\)

Sprzeczność.

Gdzie

\(\displaystyle{ f^{+}(x)= \begin{cases} f(x), \ f(x)>0 \\ 0, \ f(x) \le 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ f^{-}(x)= \begin{cases} -f(x), \ f(x)<0 \\ 0, \ f(x) \ge \ 0 \end{cases}}\)

[lavena]

Faktycznie, Twoje rozwiązanie jest dużo prostsze, dzięki.