Wyznacz b

[tweant]

Dla jakich wartosci wspolczynnika \(\displaystyle{ b}\) rownanie \(\displaystyle{ (x-1) \cdot f(x)=0}\) posiada wiecej pierwiastków ujemnych niż dodatnich?
\(\displaystyle{ f(x)=x ^{2}+2bx+3, x \in R}\)

[krejzilejdi]

najpierw policz deltę i wyznacz dla jakich \(\displaystyle{ b}\) równanie kwadratowe nie ma rozwiązania- wtedy będzie tylko 1 pierwiastek

-- 9 wrz 2012, o 17:43 --

\(\displaystyle{ 4 b^{2} -12>0 , \ b\in \left( - \sqrt3 ; \sqrt3 \right)}\)

ze wzoru viete'a można policzyć, kiedy równanie kwadratowe będzie miało 1 pierwiastek ujemny
\(\displaystyle{ -2b<0}\) czyli \(\displaystyle{ b>0}\)

-- 9 wrz 2012, o 17:52 --

i jeszcze można wziąć 2 pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-2b-\sqrt{b^{2}-3}}{2}<0 ; \ \ x_{2}=\frac{-2b+\sqrt{b^{2}-3}}{2}<0}\)

[loitzl9006]

Wiadomo, że równanie \(\displaystyle{ (x-1) \cdot f(x)=0}\) ma na pewno jeden dodatni pierwiastek \(\displaystyle{ x=1}\). Zatem równanie \(\displaystyle{ f(x)=0}\), jako równanie kwadratowe, musi mieć dwa pierwiastki ujemne.

Zatem \(\displaystyle{ x_1<0}\) i \(\displaystyle{ x_2<0}\).

Suma dwóch liczb ujemnych \(\displaystyle{ x_1, \ x_2}\) jest ujemna, zatem \(\displaystyle{ x_1+x_2<0}\)
Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni, zatem \(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 >0}\)
Ze wzorów Viete'a

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2b<0 \\ 3>0 \end{cases}}\)

czyli jak krejzilejdi zauważyła, musi być \(\displaystyle{ b>0}\).

Jeszcze delta trójmianu \(\displaystyle{ f(x)}\) musi być większa od zera (żeby istniały dwa pierwiastki) czyli

\(\displaystyle{ 4b^2-12>0}\).

Rozwiązaniem tej nierówności jest
\(\displaystyle{ b \in \left( - \infty ;- \sqrt{3} \right) \cup \left( \sqrt{3} ; + \infty \right)}\)

Bierzemy część wspólną z \(\displaystyle{ b>0}\) i \(\displaystyle{ b \in \left( - \infty ;- \sqrt{3} \right) \cup \left( \sqrt{3} ; + \infty \right)}\)

Ostatecznie \(\displaystyle{ b \in \left( \sqrt{3} ; + \infty \right)}\)

[tweant]

Źle zrozumiałem treść zadania. Zadanie samo w sobie jest proste. Dzięki za dokładne rozpisanie.