Dla jakich wartosci wspolczynnika \(\displaystyle{ b}\) rownanie \(\displaystyle{ (x-1) \cdot f(x)=0}\) posiada wiecej pierwiastków ujemnych niż dodatnich?
\(\displaystyle{ f(x)=x ^{2}+2bx+3, x \in R}\)
Wyznacz b
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 31 sie 2012, o 18:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rzeszów
- Pomógł: 2 razy
Wyznacz b
najpierw policz deltę i wyznacz dla jakich \(\displaystyle{ b}\) równanie kwadratowe nie ma rozwiązania- wtedy będzie tylko 1 pierwiastek
-- 9 wrz 2012, o 17:43 --
\(\displaystyle{ 4 b^{2} -12>0 , \ b\in \left( - \sqrt3 ; \sqrt3 \right)}\)
ze wzoru viete'a można policzyć, kiedy równanie kwadratowe będzie miało 1 pierwiastek ujemny
\(\displaystyle{ -2b<0}\) czyli \(\displaystyle{ b>0}\)
-- 9 wrz 2012, o 17:52 --
i jeszcze można wziąć 2 pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-2b-\sqrt{b^{2}-3}}{2}<0 ; \ \ x_{2}=\frac{-2b+\sqrt{b^{2}-3}}{2}<0}\)
-- 9 wrz 2012, o 17:43 --
\(\displaystyle{ 4 b^{2} -12>0 , \ b\in \left( - \sqrt3 ; \sqrt3 \right)}\)
ze wzoru viete'a można policzyć, kiedy równanie kwadratowe będzie miało 1 pierwiastek ujemny
\(\displaystyle{ -2b<0}\) czyli \(\displaystyle{ b>0}\)
-- 9 wrz 2012, o 17:52 --
i jeszcze można wziąć 2 pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-2b-\sqrt{b^{2}-3}}{2}<0 ; \ \ x_{2}=\frac{-2b+\sqrt{b^{2}-3}}{2}<0}\)
Ostatnio zmieniony 9 wrz 2012, o 18:16 przez Althorion, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Jedne klamry[latex] [/latex] na całe wyrażenie matematyczne.
Powód: Jedne klamry
-
- Moderator
- Posty: 3051
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Wyznacz b
Wiadomo, że równanie \(\displaystyle{ (x-1) \cdot f(x)=0}\) ma na pewno jeden dodatni pierwiastek \(\displaystyle{ x=1}\). Zatem równanie \(\displaystyle{ f(x)=0}\), jako równanie kwadratowe, musi mieć dwa pierwiastki ujemne.
Zatem \(\displaystyle{ x_1<0}\) i \(\displaystyle{ x_2<0}\).
Suma dwóch liczb ujemnych \(\displaystyle{ x_1, \ x_2}\) jest ujemna, zatem \(\displaystyle{ x_1+x_2<0}\)
Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni, zatem \(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 >0}\)
Ze wzorów Viete'a
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2b<0 \\ 3>0 \end{cases}}\)
czyli jak krejzilejdi zauważyła, musi być \(\displaystyle{ b>0}\).
Jeszcze delta trójmianu \(\displaystyle{ f(x)}\) musi być większa od zera (żeby istniały dwa pierwiastki) czyli
\(\displaystyle{ 4b^2-12>0}\).
Rozwiązaniem tej nierówności jest
\(\displaystyle{ b \in \left( - \infty ;- \sqrt{3} \right) \cup \left( \sqrt{3} ; + \infty \right)}\)
Bierzemy część wspólną z \(\displaystyle{ b>0}\) i \(\displaystyle{ b \in \left( - \infty ;- \sqrt{3} \right) \cup \left( \sqrt{3} ; + \infty \right)}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ b \in \left( \sqrt{3} ; + \infty \right)}\)
Zatem \(\displaystyle{ x_1<0}\) i \(\displaystyle{ x_2<0}\).
Suma dwóch liczb ujemnych \(\displaystyle{ x_1, \ x_2}\) jest ujemna, zatem \(\displaystyle{ x_1+x_2<0}\)
Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni, zatem \(\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 >0}\)
Ze wzorów Viete'a
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2b<0 \\ 3>0 \end{cases}}\)
czyli jak krejzilejdi zauważyła, musi być \(\displaystyle{ b>0}\).
Jeszcze delta trójmianu \(\displaystyle{ f(x)}\) musi być większa od zera (żeby istniały dwa pierwiastki) czyli
\(\displaystyle{ 4b^2-12>0}\).
Rozwiązaniem tej nierówności jest
\(\displaystyle{ b \in \left( - \infty ;- \sqrt{3} \right) \cup \left( \sqrt{3} ; + \infty \right)}\)
Bierzemy część wspólną z \(\displaystyle{ b>0}\) i \(\displaystyle{ b \in \left( - \infty ;- \sqrt{3} \right) \cup \left( \sqrt{3} ; + \infty \right)}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ b \in \left( \sqrt{3} ; + \infty \right)}\)