Całka nieoznaoczona (nietypowa)

[petro]

Witam,

Mam do policzenia taką oto całkę:

\(\displaystyle{ \int (x\sqrt{2x}-\sqrt{2x})dx}\)

Nie bardzo wiem, jak się za to zabrać. Po głowie chodzi mi pomysł z przeliczeniem pierwiastków na potęgi ułamkowe (w tym przypadku 1/2) i zastosowanie jednego z podstawowych wzorów na całki. Coś mi wychodzi, ale nie to co jest w odpowiedziach Mógłbym prosić kogoś o rozwiązanie krok po kroku?

[pyzol]

Dobry pomysł pokaż obliczenia, sam wynik możesz sprawdzić w wolframi wpisując tę samą formułę co tutaj.

[TPB]

Pomysł dobry. Pokaż jaki masz wynik, a jak jest w odpowiedziach. Bo często jest w całkach nieoznaczonych tak, że wyniki są te same, ale zapisane w innej formie tylko.

[petro]

\(\displaystyle{ \int (x\sqrt{2x}-\sqrt{2x})dx = \int x\sqrt{2x} dx - \int \sqrt{2x} dx= \int x*(2x)^{ \frac{1}{2}} dx - \int (2x)^{\frac{1}{2}} dx}\)

Tutaj niestety kończą się moje pomysły. Czy mogę np. \(\displaystyle{ \sqrt{2x}}\) potraktować jako \(\displaystyle{ \sqrt{2}*\sqrt{x}}\) i wyłączyć \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) przed całkę i opwerować tylko na \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\)?

[pyzol]

\(\displaystyle{ (ab)^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}}\\
a^{m}a^n=a^{m+n}}\)
To są własności, które już podstawówce są omawiane. Może, a wręcz musisz.

[petro]

Wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ ...=-\sqrt{2} \int x^{\frac{3}{2}}dx - \sqrt{2} \int x^{\frac{1}{2}}dx=-\sqrt{2}*\frac{2}{5}*x^{\frac{5}{2}}-\sqrt{2}*\frac{2}{3}*x^{\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}\sqrt{2x^5}-\frac{2}{3}\sqrt{2x^3}}\)
Czy to rozwiązanie jest poprawne?

[pyzol]

Nie wiem skąd minus w pierwszym, no i tam wpisałeś dwie trzecie zamiast dwie piąte.

[petro]

Tak, mój błąd. Przepraszam, bo ta całka jest częścią większego zadania i wkradły mi się minusy tutaj przez przypadek. Czyli poza wymienionymi błędami całka jest policzona dobrze?

[pyzol]

Tak

[petro]

Dzięki