rozwiązać równanie różniczkowe II rzędu

[Jarrett]

Mógłby ktoś sprawdzić czy dobrze zrobiłem poniższe zadanie ??

Dane jest równanie \(\displaystyle{ y^{''} + 2y^{'} +y= e^{x}}\)

a) Fundamentalny układ rozwiązań odpowiadającego mu równania jednorodnego stanowi funkcja

\(\displaystyle{ y_{j}= C_{1}e^{-x}+C_{2}xe^{-x}}\)

b) Rozwiązaniem szczególnym tego równania jest funkcja \(\displaystyle{ y(x)=}\)

\(\displaystyle{ y= C_{1}e^{-x}+C_{2}xe^{-x}}\)



\(\displaystyle{ y''+2y'+y=0 \\ r^{2}+2r+1=0 \\ \Delta=0 \\ r_{0}=-1 \\ y_{j}= C_{1}e^{-x}+C_{2}xe^{-x} \\ y_{s}=ae^{x} \\ y'_{s}=ae^{x} \\ y''_{s}=ae^{x} \\ ae^{x}+2ae^{x}+ae^{x}=e^{x} \\ a+2+a=0 \\ a=0 \\ y_{s}=0 \\ y=y_{s}+y_{j} \\ y=C_{1}e^{-x}+C_{2}xe^{-x}}\)

[szw1710]

Równanie jednorodne rozwiązałeś dobrze. Masz kłopot z równaniem niejednorodnym i jego rozwiązaniem szczególnym. Tutaj, metodą przewidywań, wyznaczamy \(\displaystyle{ y=A\text{e}^x.}\) Metoda przewidywań jest omówiona w naszym kompendium. Zobacz tu: 140782.htm

[Jarrett]

a gdzie konkretnie jest błąd ?
bo według tego kompendium niestety ale nic nie rozumiem ;/

[luka52]

\(\displaystyle{ ae^{x}+2ae^{x}+ae^{x}=e^{x}}\)

Od tego momentu dalej jest źle.

[Jarrett]

\(\displaystyle{ ae^{x}+2ae^{x}+ae^{x}=e^{x} \\ a+2+a=1 \\ 4a=1 \\ a= \frac{1}{4} \\ y_{s}=\frac{1}{4}e^{x} \\ y=y_{s}+y_{j} \\ y=\frac{1}{4}e^{x}+C_{1}e^{-x}+C_{2}xe^{-x}}\)

teraz dobrze ??

[luka52]

Tak.

[Jarrett]

dzięki można zamykać