Implikacja a równoważność

[royas]

Czy ten pan twierdził, że \(\displaystyle{ \neg((p\Rightarrow q) \wedge (p \Leftrightarrow q))}\)?

[Jan Kraszewski]

Nie jestem przekonany, czy warto rozwijać, co ten pan twierdził. To są dyskusje, które niekoniecznie warto prowadzić: www.matematyka.pl/32360.htm

JK

[Zaniepokojony]

Zapiszmy to troszkę bardziej formalnie ()

niech \(\displaystyle{ t}\) oznacza dowolny trójkąt.
wtedy
\(\displaystyle{ \forall_t (P(t) \Rightarrow Q(t))}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ P(t)}\) - trójkąt jest prostokątny
\(\displaystyle{ Q(t)}\) - suma kwadratów długości dwóch boków tego trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.

Jaki trójkąt byśmy nie wzięli możemy natrafić jedynie na dwie sytuacje
1. Mamy trójkąt prostokątny
wtedy \(\displaystyle{ P(t)=1}\) i \(\displaystyle{ Q(t)=1}\)
zaglądamy więc np. do tabelki gdzie: \(\displaystyle{ 1 \Rightarrow 1 = 1}\)

2. Mamy trójkąt który nie prostokątny
wtedy \(\displaystyle{ P(t)=0}\) i \(\displaystyle{ Q(t)=0}\)
zaglądamy więc np. do tabelki \(\displaystyle{ 0 \Rightarrow 0 = 1}\)

Na drugą sytuacje też nie natrafimy, bo wnioskowanie, z którym mamy tutaj do czynienia jest czymś ciut innym niż implikacja (czyli nie \(\displaystyle{ TP \Rightarrow SK}\), tylko \(\displaystyle{ TP\models SK}\)).

Tego twierdzenia nie traktujemy jako implikacji w sensie spójnika logicznego, tylko jako wnioskowanie. Wobec tego sprawdzamy, czy z prawdziwości założenia jesteśmy w stanie wywnioskować prawdziwość tezy, żadne inne sytuacje nas nie interesują.

JK

Szanowny Panie Doktorze.

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.
\(\displaystyle{ TP\models SK}\)

Rozumiem, że wystarczy wykazać iż dla każdego trójkąta prostokątnego zachodzi suma kwadratów.
Trójkąty nie prostokątne we wnioskowaniu nas w ogóle nie interesują.

Twierdzenie podobne:
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny, to suma kwadratów długości dwóch jego boków nie jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.
\(\displaystyle{ \neg TP\models \neg SK}\)

Podobnie w tym przypadku wystarczy wykazać, iż dla każdego trójkąta nie prostokątnego nie zachodzi suma kwadratów.
Trójkąty prostokątne nas w tym przypadku w ogóle nie interesują.

Czy dobrze rozumuję?

Będę wdzięczny za odpowiedź.

[Ponewor]

a ja się przyczepię, bo się pojawiło w paru postach: o żadnej równoważności nie można powiedzieć, że jest twierdzeniem. Mnie zawsze uczono, że twierdzenia to tylko implikacje. Nawet wiki to potwierdza.

[Qń]

o żadnej równoważności nie można powiedzieć, że jest twierdzeniem

To jakiś zabobon.

... y-Smirnowa

Q.

[royas]

Twierdzenia wyglądające na równoważność to implikacja z pustym zbiorem założeń.

[Jan Kraszewski]

Czy dobrze rozumuję?

Dobrze.

Twierdzenia wyglądające na równoważność to implikacja z pustym zbiorem założeń.

Przesada.

JK

[Nedzny]

To ja mam takie filozoficzne pytanie
jeśli chodzi o twierdzenie Pitagorasa tak zapisane, traktowane jak implikacja
Jeśli dowolny trójkąt \(\displaystyle{ t}\) jest prostokątny, to suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.
\(\displaystyle{ \forall_t (P(t) \Rightarrow Q(t))}\)
oznaczenia jak wyżej,
to czy to twierdzenie jest prawdziwe dla każdego/dowolnego trójkąta (także tych nieprostokątnych bo \(\displaystyle{ 0 \Rightarrow 0 = 0}\)) czy tylko dla prostokątnych?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \forall_t (P(t) \Rightarrow Q(t))}\)
oznaczenia jak wyżej,
to czy to twierdzenie jest prawdziwe dla każdego/dowolnego trójkąta

Przy zapisie powyżej kwantyfikujesz po wszystkich trójkątach, czyli twierdzenie ma postać:

Dla dowolnego trójkąta \(\displaystyle{ t}\), jeśli \(\displaystyle{ t}\) jest prostokątny to suma kwadratów... itd.

Równie dobrze możemy to jednak "zwinąć" do kwantyfikatora ograniczonego i wtedy dostajemy

Dla dowolnego trójkąta prostokątnego \(\displaystyle{ t}\), suma kwadratów... itd.

Z logicznego punktu widzenia oba powyższe zapisy są równoważne, więc Twoje pytanie jest w pewnym sensie pytaniem o nic.

(także tych nieprostokątnych bo \(\displaystyle{ 0 \Rightarrow 0 = 0}\))

Raczej \(\displaystyle{ 0 \Rightarrow 0 = 1}\)

JK

[Zaniepokojony]

\(\displaystyle{ \forall_t (P(t) \Rightarrow Q(t))}\)
oznaczenia jak wyżej,
to czy to twierdzenie jest prawdziwe dla każdego/dowolnego trójkąta

Przy zapisie powyżej kwantyfikujesz po wszystkich trójkątach, czyli twierdzenie ma postać:

Dla dowolnego trójkąta \(\displaystyle{ t}\), jeśli \(\displaystyle{ t}\) jest prostokątny to suma kwadratów... itd.

Równie dobrze możemy to jednak "zwinąć" do kwantyfikatora ograniczonego i wtedy dostajemy

Dla dowolnego trójkąta prostokątnego \(\displaystyle{ t}\), suma kwadratów... itd.

Z logicznego punktu widzenia oba powyższe zapisy są równoważne, więc Twoje pytanie jest w pewnym sensie pytaniem o nic.
JK

Nędzny, zgadzam się w 100% z Panem Janem Kraszewskim.
Z logicznego punktu widzenia te zapisy są RÓWNOWAŻNE. Nie jest możliwe, aby twierdzenie dowiedzione kwantyfikatorem ograniczonym, zostało obalone przez kwantyfikator ogólny. Dowolne twierdzenie matematyczne udowodnione kwantyfikatorem ogólnym, da się dowieźć przy pomocy kwantyfikatora ograniczonego (i odwrotnie).

Szanowny Panie Doktorze.

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.
\(\displaystyle{ TP\models SK}\)

Rozumiem, że wystarczy wykazać iż dla każdego trójkąta prostokątnego zachodzi suma kwadratów.
Trójkąty nie prostokątne we wnioskowaniu nas w ogóle nie interesują.

Twierdzenie podobne:
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny, to suma kwadratów długości dwóch jego boków nie jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.
\(\displaystyle{ \neg TP\models \neg SK}\)

Podobnie w tym przypadku wystarczy wykazać, iż dla każdego trójkąta nie prostokątnego nie zachodzi suma kwadratów.
Trójkąty prostokątne nas w tym przypadku w ogóle nie interesują.

Czy dobrze rozumuję?

Będę wdzięczny za odpowiedź.

Czy dobrze rozumuję?

Dobrze.

Bardzo dziękuję za odpowiedź.
Chodzi mi to po głowie od dwóch dni, kiedy Pan wspomniał o wnioskowaniu.

Wymyśliłem taką króciuteńką teorię, bardzo bym prosił o Pana opinię na ten temat.

1.
Dowolne twierdzenie matematyczne podane w formie:
Jeśli p to q
\(\displaystyle{ p\models q}\)
Jest wnioskowaniem, nie jest to jeszcze operator logiczny.
Dopiero w drugim kroku możemy udowodnić czy dowolne twierdzenie:
Jeśli p to q
jest implikacją, czy też wchodzi w skład definicji równoważności pozostając dalej tylko wnioskowaniem.

2.
Definicja implikacji.
Implikacja to wnioskowanie wyłącznie w jedna stronę:
A: \(\displaystyle{ p\models q =1}\)
B: \(\displaystyle{ q\models p =0}\)
Jeśli udowodnimy wyłącznie A to twierdzenie póki co jest wnioskowaniem.
Dopiero po udowodnieniu B możemy powiedzieć że zdanie A jest implikacją prawdziwą \(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\)
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
A: \(\displaystyle{ P8\models P2 =1}\)
B: \(\displaystyle{ P2\models P8 =0}\) bo 2
stąd:
Zdanie \(\displaystyle{ P8\Rightarrow P2}\) jest implikacją prawdziwą.

3.
Alternatywna definicja implikacji:
Implikacja to prawdziwość wyłącznie jednego z poniższych wnioskowań (dowolnego):
A: \(\displaystyle{ p\models q =1}\)
B: \(\displaystyle{ \neg p\models \neg q =0}\)
Jeśli udowodnimy wyłącznie A to twierdzenie póki co jest wnioskowaniem.
Dopiero po udowodnieniu B możemy powiedzieć że zdanie A jest implikacją prawdziwą \(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\)
Przykład:
I
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
A: \(\displaystyle{ P8\models P2 =1}\)
B: \(\displaystyle{ \neg P8\models \neg P2 =0}\) bo 2
stąd:
Zdanie \(\displaystyle{ P8\Rightarrow P2}\) jest implikacją prawdziwą.
Zauważmy, że w tym przypadku po stronie \(\displaystyle{ \neg P8}\) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”. Liczba niepodzielna przez 8 może nie być podzielna przez 2 (bo 3) lub może być podzielna przez 2 (bo 2).
II
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 8
A: \(\displaystyle{ \neg P2\models \neg P8 =1}\)
B: \(\displaystyle{ P2\models P8 =0}\) bo 2
stąd:
Zdanie \(\displaystyle{ \neg P2\models \neg P8}\) jest implikacją prawdziwą.
Zauważmy, że w tym przypadku po stronie \(\displaystyle{ P2}\) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”. Liczba podzielna przez 2 może być podzielna przez 8 (bo 8) lub może nie być podzielna przez 8 (bo 2).

4.
Definicja równoważności:
Równoważność to wnioskowanie w dwie strony:
\(\displaystyle{ p \Leftrightarrow q = (p\models q) \wedge (q\models p)}\)
A.
\(\displaystyle{ p\models q}\)
Jeśli udowodnimy wyłącznie \(\displaystyle{ p\models q =1}\) to twierdzenie A póki co jest wnioskowaniem.
B.
\(\displaystyle{ q\models p}\)
Dopiero po udowodnieniu \(\displaystyle{ q\models p =1}\) możemy powiedzieć, że twierdzenia A i B to wnioskowania wchodzące w skład definicji równoważności:
\(\displaystyle{ p \Leftrightarrow q = (p\models q) \wedge (q\models p)}\)

Dopiero po udowodnieniu A i B możemy wypowiedzieć to twierdzenie w formie równoważności:
\(\displaystyle{ p \Leftrightarrow q}\)

Przykład:
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.
A: \(\displaystyle{ TP\models SK =1}\)
B: \(\displaystyle{ SK\models TP =1}\)
stąd:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.
\(\displaystyle{ TP \Leftrightarrow SK = (TP\models SK) \wedge (SK\models TP)}\)

5.
Alternatywna definicja rownoważności:
\(\displaystyle{ p \Leftrightarrow q = (p\models q) \wedge (\neg p\models \neg q)}\)
A.
\(\displaystyle{ p\models q}\)
Jeśli udowodnimy wyłącznie \(\displaystyle{ p\models q =1}\) to twierdzenie A póki co jest wnioskowaniem.
B.
\(\displaystyle{ \neg p\models \neg q}\)
Dopiero po udowodnieniu \(\displaystyle{ \neg p\models \neg q =1}\) możemy powiedzieć, że twierdzenia A i B to wnioskowania wchodzące w skład definicji równoważności:
\(\displaystyle{ p \Leftrightarrow q = (p\models q) \wedge (\neg p\models \neg q)}\)

Dopiero po udowodnieniu A i B możemy wypowiedzieć to twierdzenie w formie równoważności:
\(\displaystyle{ p \Leftrightarrow q}\)

Przykład:
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.
A: \(\displaystyle{ TP\models SK =1}\)
B: \(\displaystyle{ \neg TP\models \neg SK =1}\)
stąd:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.
\(\displaystyle{ TP \Leftrightarrow SK = (TP\models SK) \wedge (\neg TP\models \neg SK)}\)

Zauważmy fundamentalną różnicę pomiędzy implikacją i równoważnością.

W implikacji:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
\(\displaystyle{ P8\models P2}\)
po stronie liczb niepodzielnych przez 8 \(\displaystyle{ \neg P8}\) mamy najzwyklejsze “rzucanie monetą”. Liczba niepodzielna przez 8 może nie być podzielna przez 2 (np. 3) lub być podzielna przez 2 (np. 4)

W równoważności natomiast doskonale wiemy co zajdzie w przypadku trójkąta nie prostokątnego \(\displaystyle{ \neg TP}\). W takim trójkącie na pewno nie zajdzie suma kwadratów. Po stronie \(\displaystyle{ \neg TP}\) mamy więc 100% determinizm, doskonale wiemy co się stanie.
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.
\(\displaystyle{ TP \Leftrightarrow SK = (TP\models SK) \wedge (\neg TP\models \neg SK)}\)

Z powyższego wynika, że nie da się zrobić z równoważności prawdziwej implikacji prawdziwej, i odwrotnie.

Aby z naszej równoważności prawdziwej:
\(\displaystyle{ TP \Leftrightarrow SK}\)
zrobić implikację prawdziwą musielibyśmy po stronie trójkątów nie prostokątnych \(\displaystyle{ \neg TP}\) wymusić „rzucanie monetą”, czyli musiałby istnieć przynajmniej jeden trójkąt nie prostokątny w którym nie zachodzi suma kwadratów (z tym nie ma problemu) i przynajmniej jeden trójkąt nie prostokątny w którym zachodzi suma kwadratów. Dla człowieka to jest oczywiście nie wykonalne.
Nie jest prawdą zatem iż jeśli w twierdzeniu Pitagorasa użyjemy spójnika „wtedy i tylko wtedy” to twierdzenie to będzie równoważnością prawdziwą (to akurat jest prawdą), natomiast jeśli użyjemy spójnika „Jeśli p to q” to twierdzenie Pitagorasa w cudowny sposób stanie się implikacją prawdziwą (to jest fałsz).

Proszę zauważyć, że moja mini-teoria, mam nadzieję że poprawna, stopuje takie kwiatki w tym temacie jak:

306361.htm#p4967545

a ja się przyczepię, bo się pojawiło w paru postach: o żadnej równoważności nie można powiedzieć, że jest twierdzeniem. Mnie zawsze uczono, że twierdzenia to tylko implikacje. Nawet wiki to potwierdza.

306361.htm#p4967577

Twierdzenia wyglądające na równoważność to implikacja z pustym zbiorem założeń.

Czy moja mini-teoria jest dobra?

Będę wdzięczny za opinię.

[royas]

To wszystko zależy w jakim języku chcemy wyrazić dane twierdzenie. Jeśli ma to być język predykatów to nie mamy do dyspozycji \(\displaystyle{ \models}\) mamy \(\displaystyle{ \rightarrow}\). (Wtedy też kwantyfikator ograniczony można traktować jak skrót notacyjny, tak jak często \(\displaystyle{ \neg q}\) to skrót od \(\displaystyle{ q \rightarrow \bot}\)).

Nie widzę też problemu z osłabieniem równoważności do implikacji.
\(\displaystyle{ (p\leftrightarrow q)\leftrightarrow((p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow p))\rightarrow (p\rightarrow q)}\). Nie rozumiem po co jakieś wymuszanie "rzucania monetą".
Czyli:
Jeśli (trójkąt jest prostokątny wtw suma kwadrató...) to (jeśli trójkąt jest prostąkątny to suma kwadratów...).

Czyli jeśli \(\displaystyle{ p\models q}\) jest wnioskowaniem poprawnym, to \(\displaystyle{ p\rightarrow q}\) będące implikacją jest zdaniem prawdziwym; i zupełnie nie jest istotne czy \(\displaystyle{ q \models p}\) jest poprawne czy nie.

[Nedzny]

Z gory przepraszam za brak polskich znakow, pisze teraz ze szwedzkiej klawiatury, mam nadzieje ze to nie problem.

Zaniepokojony

Nędzny, zgadzam się w 100% z Panem Janem Kraszewskim.

Ja tez.

Nie jest możliwe, aby twierdzenie dowiedzione kwantyfikatorem ograniczonym, zostało obalone przez kwantyfikator ogólny.

A gdzie ja cos chce obalac?

Dowolne twierdzenie matematyczne udowodnione kwantyfikatorem ogólnym, da się dowieźć przy pomocy kwantyfikatora ograniczonego (i odwrotnie).

Nie rozumiem.
Co to znaczy udowodnic twierdzenie kwantyfikatorem?

A to "i odwrotnie" to co znaczy?
Dowolne twierdzenie matematyczne udowodnione kwantyfikatorem szczegolowym, da się dowieźć przy pomocy kwantyfikatora ogolnego, tak?

Chcesz powiedziec cos takiego:
\(\displaystyle{ \forall_t (P(t) \Rightarrow Q(t)) \Leftrightarrow \exists _t (P(t) \Rightarrow Q(t))}\)

Równoważność to wnioskowanie w dwie strony:
\(\displaystyle{ p \Leftrightarrow q = (p\models q) \wedge (q\models p)}\)

Czy taki zapis ma sens?

Tzn \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) jest symbolem z KRZ,\(\displaystyle{ \models}\) juz nie. Wiec nie da sie wyrazic jednego przez drugi.
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) ma "tabelke 0-1", a \(\displaystyle{ \models}\) nie ma. Myle sie?

To jakis meta-jezyk?


\(\displaystyle{ p\models q =1}\)
znowu czy taki zapis ma sens?
Co to znaczy tutaj 1?

Chcialbym przeczytacTwoja teorie ale obawiam sie ze wiele zapisow w niej nie ma sensu.


JK

\(\displaystyle{ Raczej 0 \Rightarrow 0 = 1}\)

Oczywiscie! Mea culpa!
Literowka

Przy zapisie powyżej kwantyfikujesz po wszystkich trójkątach, czyli twierdzenie ma postać:

Dla dowolnego trójkąta t, jeśli t jest prostokątny to suma kwadratów... itd.

Równie dobrze możemy to jednak "zwinąć" do kwantyfikatora ograniczonego i wtedy dostajemy

Dla dowolnego trójkąta prostokątnego t, suma kwadratów... itd.

Z logicznego punktu widzenia oba powyższe zapisy są równoważne, więc Twoje pytanie jest w pewnym sensie pytaniem o nic.

Tak, oczywiscie zwinac mozemy
ja tylko pytalem tak filozoficznie

Czy mozemy powiedziec ze:

1. Zdanie
Dla dowolnego trójkąta t, jeśli t jest prostokątny to suma kwadratów... itd.
jest prawdziwe dla dowolnego trojkato takze nieprostokatnego ?

Z tym ze mozemy zwinac sie zgadzam, ale chodzilo mi troszke inna sprawe

[Jan Kraszewski]

A to "i odwrotnie" to co znaczy?
Dowolne twierdzenie matematyczne udowodnione kwantyfikatorem szczegolowym, da się dowieźć przy pomocy kwantyfikatora ogolnego, tak?

Kwantyfikator ograniczony i kwantyfikator szczegółowy to dwie różne rzeczy.

JK

[Kotorok]

Przepraszam, że przeszkadzam. Nie znam się zbytnio na matematyce, jednak postanowiłem się zarejestrować i coś wkleić, bo pewien znany (i mniej lubiany) Miś powołuje się na Pana wypowiedzi w tym temacie, Panie Kraszewski (a wiem z doświadczenia, że lubi podpierać się autorytetami, chociaż ci wcale go nie popierają). Dlatego wklejam jego wypowiedzi, żeby się Pan mógł zdystansować (albo i nie?).

Valki, Dagger, Słupek, Fatbantha …

… a jednak.

Przegraliście zakład!

306361.htm#p4967410

Prawdopodobnie: Nedzny = Windziarz
Na pewno: Zaniepokojony = Kubuś

Pan Jan Kraszewski wprowadzając pojęcie kwantyfikatora ograniczonego w sposób pośredni potwierdził poprawność matematyczną Algebry Kubusia!

Kwantyfikator ograniczony dr. Jana Kraszewskiego = warunek wystarczający => z Algebry Kubusia!

Huuurrrraaaa!

Oczywiście póki co matematycy nie wiedzą że symbol warunku wystarczającego => o definicji:

p=>q=1
p~~>~q =0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q

Jest legalnym symbolem algebry Booole’a, bo nie znają poprawnej budowy ani jednego operatora logicznego!

Dlatego zaczynam (wyżej) AK od dowodu matematycznego iż znaczki „+” i „*” nie są kompletnymi operatorami logicznymi w algebrze Boole’a!

Traktowanie spójników „Lub”(+) i „i”(*) jak kompletnych operatorów jest błędem czysto matematycznym!

Aktualnie algebra Kubusia jest w przebudowie (patrz wyżej), dlatego kończę swój występ na matematyce.pl

Czas Kubusia jeszcze nie nadszedł.

Wielkie brawa dla pana Jana Kraszewskiego, są jednak na Ziemi matematycy którzy myślą jak ludzie a nie jak im ten debil, KRZiP, rozkaże.

Pan JK powiedział to!

Trzeba być DEBILEM aby dowodząc dowolne twierdzenie matematyczne wyrażone kwantyfikatorem dużym:

/x p(x)=>q(x)
Kwantyfikować po całej dziedzinie, czyli po zbiorze p(x) i ~p(x)

Kwantyfikator ograniczony według dr. J. Kraszewskiego to oczywiście kwantyfikowanie wyłącznie po zbiorze p(x) i OLANIE zbioru ~p(x), czyli dokładnie tak jak to jest w Algebrze Kubusia!

Czego biedny Nędzny nie może pojąć, jak to widać wyżej.

Wszelkie twierdzenia matematyczne dowodzi się kwantyfikując po zbiorze zdefiniowanym w poprzedniku!

Po całej dziedzinie kwantyfikują wyłącznie matematyczni DEBILE!

Dokładnie to powiedział pan Jan Kraszewski wyżej!

… możecie sobie obalać

Kubuś

Źródło:
(następny cytowany post na następnej stronie)

[Jan Kraszewski]

Dlatego wklejam jego wypowiedzi, żeby się Pan mógł zdystansować (albo i nie?).

Takie "dyskusje" mnie nie interesują, więc wypowiadać się nie zamierzam. Szkoda czasu.

A temat uważam za wyczerpany.

JK