długość odcinka liczonego całką-problem

[pan_x000]

Zastanawiam się nad następującą rzeczą.
Niech \(\displaystyle{ b=10, \alpha = \frac{ \pi }{3}}\)

Wtedy długość odcinka na przeciwko kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) wynosi \(\displaystyle{ btg \alpha=10 \sqrt{3}}\).


Dlaczego nie można policzyć długości tego odcinka z całki: (wychodzi inny wynik):

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{3} } \frac{10}{cos \ \beta } \mbox{d} \beta}\)

sumuję więc iloczyny: nieskończenie małych przyrostów kąta przy wierzchołku A i zmieniającego się promienia.

[Chromosom]

pan_x000, przedstaw swoje obliczenia.

[pan_x000]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{3} } \frac{10}{cos \ \beta } \mbox{d} \beta=10ln|tg( \frac{ \pi }{4} + \frac{ \beta }{2} )| ^{ \frac{ \pi }{3} } _{0}=10ln(tg( \frac{5 \pi }{12} )) \approx 13,17}\)

[norwimaj]

Spróbuj \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{3} } \frac{10}{\cos^2 \ \beta } \mbox{d} \beta}\). Domyślam się że błędnie zakładasz, że długość pewnego małego łuku jest w przybliżeniu równa długości pewnego małego odcinka.

[pan_x000]

Rzeczywiście norwimaj tak właśnie zakładałem. Z przedstawionej przez ciebie całki wynik jest poprawny. Ale jak ją interpretować, jaki jest błąd w moim myśleniu?

[norwimaj]

jaki jest błąd w moim myśleniu?

Błąd względny większy niż \(\displaystyle{ o(1)}\) (gdy \(\displaystyle{ \Delta\beta\to0^+}\)). Długość łuku o kącie rozwarcia \(\displaystyle{ \Delta\beta}\) i promieniu \(\displaystyle{ \frac b{\cos\beta}}\) jest równa \(\displaystyle{ \frac b{\cos\beta}\Delta\beta}\). Długość rzutu tego łuku na pionową prostą jest \(\displaystyle{ (\cos\beta+o(1))}\) razy mniejsza.

[Tomek_Fizyk-10]

Mi wyszła taka całka:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{ \pi }{3}} \frac{b \cdot \tan \beta}{ \sqrt{2(1 - \cos \beta)} } \mbox{d} \beta}\)
da się to przekształcić w
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{ \pi }{3} } \frac{b}{\cos^2 \ \beta } \mbox{d} \beta}\)
?

[pan_x000]

kurcze, dalej tego nie czaję, o co chodzi z tym błędem względnym. Jeśli mógłbym prosić o jakiś odnośnik do zaczerpnięcia wiedzy na ten temat to będę wdzięczny.

[norwimaj]

Jeśli wartość \(\displaystyle{ x_0}\) przybliżamy przez \(\displaystyle{ x}\), to błędem względnym przybliżenia nazywamy liczbę \(\displaystyle{ \left|\frac{x-x_0}{x_0}\right|}\). To jest już połowa mojej całej wiedzy o błędzie względnym. Powinna ta definicja być w każdej książce od liceum, bo jest to w podstawie programowej.

Jeśli każdy składnik sumy Riemanna przybliżasz z dużym błędem względnym, to mała jest szansa na to że otrzymasz poprawny wynik.