Dowód twierdzenia (dot. grupy cyklicznej i generatora)

[kjubus]

od razu przepraszam za nazwe tematu, ale ma ona zawsze ograniczona ilosc znakow.

potrzebuje dowodu ponizszego twierdzenia:
Jeżeli \(\displaystyle{ G = (a)}\) jest grupą cykliczną rzędu \(\displaystyle{ n}\) generowaną przez elementa \(\displaystyle{ a}\), to element \(\displaystyle{ a^{k}}\) jest generatorem grupy \(\displaystyle{ G}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ (n,k) = 1}\)

[Jacek_Karwatka]

\(\displaystyle{ (n,k)=1 \Leftrightarrow \bigvee\limits_{m}(k \cdot m)mod(n) = 1}\)

inaczej mówiąc

\(\displaystyle{ \left(a ^{k} \right) ^{m}= a^{k \cdot m}=a ^{1}=a}\)

biorąc kolejne potęgi \(\displaystyle{ a ^{k}}\) dostajemy generator a więc i całą grupę.