wyznaczenie długości krzywej

[kameleon]

Witam, mam problem z zadankiem :

Znaleźć punkt P(współrzędne bez wyliczania całek) na krzywej

\(\displaystyle{ x= \int_{1}^{t} \frac{\cos z}{z} dz \ \ y= \int_{1}^{t} \frac{\sin z }{z} dz \ \ z>0}\)
taki że długość krzywej od początku układu współrzędnych do punktu P jest równa 1.

Zrobiłem to tak, że wstawiłem tą krzywą zadaną parametrycznie do wzoru na długość krzywej tj

\(\displaystyle{ L= \int_{0}^{x} \sqrt{ \left[ \left( \int_{1}^{t} \frac{\cos z}{z} dz \right) ' \right] ^{2} + \left[ \left( \int_{1}^{t} \frac{\sin z }{z} dz \right) ' \right] ^{2} }=}\)

\(\displaystyle{ =\int_{0}^{x} \sqrt{ \frac{1}{z ^{2} } }dz = \int_{0}^{x} \frac{1}{z}dz = \ln \left| x\right|}\)

i teraz przyrównałem mój wynik do 1 bo taka miała wyjść długość krzywej czyli \(\displaystyle{ \ln x =1 \Leftrightarrow x=e}\) i dalej nie wiem(o ile wcześniejsze moje działania są dobre) ... proszę o pomoc.

[bedbet]

Skąd wziąłeś takie granice całkowania w całce na dłogość łuku? Poza tym aby wskazać ten punkt będzie potrzebne wyliczenie tych całek. Autorowi chodziło chyba, aby nie liczyć tych całek przy wyliczaniu długości łuku (zamysł skorzystania z całki jako funkcji górnej granicy całkowania).

[kameleon]

no cóż, granice całkowania to wziąłem od zera dlatego że w treści jest napisane od początku układu współrzędnych a za górną granice całkowania wziąłem dowolnego x no bo właśnie do tego x długość krzywej ma być równa 1.

[bedbet]

Skąd wiesz, że \(\displaystyle{ x(0)=y(0)=0}\)?

[kameleon]

Tak w ogóle to dziękuje za pomoc.Ja nie twierdze , że moje rozumowanie jest dobre być może się mylę i pewnie tak jest:) ale czy mógłbyś napisać jakieś wskazówki jak po kolei rozwiązać to zadanie?? bo w tej chwili to już nic nie wiem;/. Jakie powinienem wziąć granice całkowania przy liczeniu długości tej krzywej??.

[bedbet]

Na początek wyznacz takie \(\displaystyle{ t}\), dla którego \(\displaystyle{ x(t)=0 \ , \ y(t)=0}\).