Rozwinięcie w szereg

[dusiek]

Mam takie zadanie:

Oblicz na ile sposobów można rozdać 7 dzieciom 21 identycznych cukierków tak, żeby każde dostało co najmniej 2, ale co najwyżej 4 cukierki.

Funkcja tworząca ma postać: \(\displaystyle{ \left( x^{2} + x^{3} + x^{4}\right)^{7} = x^{14}\left(1 + x + x^{2}\right)^{7}}\)
I nie wiem jak mam rozwinąć ten nawias (żeby się nie narobić) w szereg żeby zobaczyć co stoi przy \(\displaystyle{ x^{7}}\) Z góry dziękuje za pomoc.

[adambak]

przy \(\displaystyle{ x^7}\) to stoi zero, Ty chcesz współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{21}}\)
skoro masz \(\displaystyle{ x^{14}\left(1 + x + x^{2}\right)^{7}}\) to chcesz znaleźć sumę współczynników przy \(\displaystyle{ x^{7}}\) po wymnożeniu \(\displaystyle{ \left(1 + x + x^{2}\right)^{7}}\), a to łatwo znaleźć:

1) sposób: ... ych_stopni

2) sposób: \(\displaystyle{ (1+x+x^2)^7=\left( \frac{1-x^3}{1-x}\right)^7 = (1-x^3)^7 \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} {n+6 \choose 6} x^n}\) i stosujesz wzór na dwumian \(\displaystyle{ (1-x^3)^7}\) po czym rozbijasz to na osiem sum i sumujesz odpowiednie współczynniki..


narobić to się zawsze trochę trzeba, ale drugi sposób w tym przypadku całkiem szybki..-- 6 wrz 2012, o 20:57 --wyjdzie \(\displaystyle{ 393}\)

[dusiek]

Chodziło mi o to, że skoro mam przed nawiasem \(\displaystyle{ x^{14}}\) to wystarczy znaleźć współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{7}}\) rozwinięcia \(\displaystyle{ \left(1 + x + x^{2} \right)^{7}}\), który jednocześnie po wymnożeniu będzie współczynnikiem przy \(\displaystyle{ x^{21}}\) całości. Równoważnie można rozważać rozdanie 7 cukierków przy czym żadne dziecko nie dostanie więcej niż 2 Nie zauważyłem banalnego przekształcenia \(\displaystyle{ 1 + x + x^{2} = \frac{1-x^{3}}{1-x}}\), dalej już jest łatwo. Dzięki za pomoc

[adambak]

Chodziło mi o to, że skoro mam przed nawiasem x^{14} to wystarczy znaleźć współczynnik przy x^{7} rozwinięcia left(1 + x + x^{2}
ight)^{7}, który jednocześnie po wymnożeniu będzie współczynnikiem przy x^{21} całości.

racja, dobrze napisałeś oczywiście, ale ja nie doczytałem, przepraszam