Implikacja a równoważność

[Valki]

Cześć!
Mam pytanie, które pewnie wyda Wam się śmieszne, ale zależy mi na tym, żeby uzyskać odpowiedź. Za każdą z góry dziękuje!

Nauczyciel kolegi twierdzi, że twierdzenie Pitagorasa jest implikacją prawdziwą, jeśli do jego sformułowania użyjemy konstrukcji „jeśli p, to q”.

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów jego krótszych boków jest równa kwadratowi najdłuższego.

Natomiast jeśli twierdzenie Pitagorasa sformułujemy, używając konstrukcji „wtedy i tylko wtedy”, to twierdzenie będzie równoważnością prawdziwą.

Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy suma kwadratów jego krótszych boków jest równa kwadratowi najdłuższego.

Wynika z tego, że o tym, czy twierdzenie Pitagorasa jest równoważnością (prawdziwą), czy też implikacją (prawdziwą), decyduje człowiek, poprzez takie albo inne sformułowanie tegoż twierdzenia.

Co o tym sądzicie?

[Spektralny]

Nie mam pojęcia co masz na myśli.

Twierdzenie Pitagora mówi, że jeżeli trójkąt jest prostokątny (\(\displaystyle{ p}\)), to kwadrat długości najdłuższego boku równa się sumie kwadratów długości pozostałych boków (\(\displaystyle{ q}\)).

Szczęśliwie, prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne \(\displaystyle{ q\Rightarrow p}\), a więc de facto twierdzeniem Pitagorasa można nazwać równoważność \(\displaystyle{ p \iff q}\).

Rozważ zdanie: jeżeli figura jest kwadratem (\(\displaystyle{ p}\)), to jest prostokątem (\(\displaystyle{ q}\)).

Oczywiście, twierdzenie \(\displaystyle{ p\Rightarrow q}\) zachodzi, jednak ewidentnie \(\displaystyle{ q\not\Rightarrow p}\).

[Valki]

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów jego krótszych boków jest równa kwadratowi najdłuższego.

To jest implikacja prosta o wartości prawda.

Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy suma kwadratów jego krótszych boków jest równa kwadratowi najdłuższego.

A to jest równoważność, również posiadająca wartość logiczną prawda.

Wszystko się zgadza? Proszę o odpowiedź TAK/NIE.

PS Wiem, że moje pytania brzmią dziwacznie, później wszystko wyjaśnię. Teraz zależy mi na konkretnych odpowiedziach. Dzięki Spektralny.

[Jan Kraszewski]

Twierdzenie Pitagorasa to

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa to

Jeśli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Oba te twierdzenia (niezależne od siebie) są prawdziwe, więc prawdziwa jest równoważność

Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.

JK

[Valki]

Dziękuję Panu za odpowiedź!

Mam jeszcze jedno pytanie, ostatnie. Czy dobrze rozumiem, że twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwą implikacją i nie ma na to żadnego wpływu fakt, że prawdziwą implikacją jest również twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa?

[Nedzny]

Hmmmm, witam serdecznie!

Czytam to forum od pewnego czasu i postanowiłem się zarejestrować, ponieważ chyba wiem z czym (a raczej - z Kim) boryka się użytkownik Valki.


Twierdzenie Pitagorasa, a mówiąc to, mam na myśli takie zdanie:
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.
jest twierdzeniem prawdziwym oraz niewątpliwie implikacją.

Twierdzenie odwrotne tj.:
Jeśli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny.
również jest twierdzeniem prawdziwym i implikacją.


Twierdzenie, które brzmi
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.
jest natomiast równoważnością, w tym wypadku także jest twierdzeniem prawdziwym.


Jeśli napisałem coś źle, proszę o niezwłoczne poprawienie mnie i wyjaśnienie sprawy.
A jeśli dobrze, proszę o potwierdzenie , najlepiej by potwierdził to ktoś, kto ma większe doświadczenie w logice niż ja. Ja jestem tylko nędznym robaczkiem.


Pozdrawiam.

[Jan Kraszewski]

Mam jeszcze jedno pytanie, ostatnie. Czy dobrze rozumiem, że twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwą implikacją i nie ma na to żadnego wpływu fakt, że prawdziwą implikacją jest również twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa?

Tak.

Jeśli napisałem coś źle proszę o niezwłoczne poprawienie mnie i wyjaśnienie sprawy.

Napisałeś dobrze, choć w zasadzie niewiele to do sprawy wniosło nowego.

JK

[royas]

Mam jeszcze jedno pytanie, ostatnie. Czy dobrze rozumiem, że twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwą implikacją i nie ma na to żadnego wpływu fakt, że prawdziwą implikacją jest również twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa?

Może chodzi o to, że twierdzenie odwrotne to nie to samo, co negacja tego twierdzenia.

[Nedzny]

Dziękuję Szanowny Panie Doktorze za potwierdzenie moich słów, napisałem to, ponieważ wydaje mi się ze o to właśnie pytał Valki.

[Zaniepokojony]

Hmmmm, witam serdecznie!

Czytam to forum od pewnego czasu i postanowiłem się zarejestrować, ponieważ chyba wiem z czym (a raczej - z Kim) boryka się użytkownik Valki.


Twierdzenie Pitagorasa, a mówiąc to, mam na myśli takie zdanie:
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.
jest twierdzeniem prawdziwym oraz niewątpliwie implikacją.

Twierdzenie odwrotne tj.:
Jeśli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny.
również jest twierdzeniem prawdziwym i implikacją.


Twierdzenie, które brzmi
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.
jest natomiast równoważnością, w tym wypadku także jest twierdzeniem prawdziwym.


Jeśli napisałem coś źle, proszę o niezwłoczne poprawienie mnie i wyjaśnienie sprawy.
A jeśli dobrze, proszę o potwierdzenie , najlepiej by potwierdził to ktoś, kto ma większe doświadczenie w logice niż ja. Ja jestem tylko nędznym robaczkiem.


Pozdrawiam.

Twierdzenie Pitagorasa będące równoważnością prawdziwą bo człowiek użył formy:
\(\displaystyle{ TP \Leftrightarrow SK}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{lll}
\left| TP &\left| SK &\left| TP \Leftrightarrow SK \\
\left| 1 &\left| 1 &\left| 1 \\
\left| 1 &\left| 0 &\left| 0 \\
\left| 0 &\left| 0 &\left| 1 \\
\left| 0 &\left| 1 &\left| 0 \\
\end{tabular}}\)

Ostatnia linia:
\(\displaystyle{ p = TP=0}\)
\(\displaystyle{ q = SK=1}\)
\(\displaystyle{ TP \Leftrightarrow SK =0}\)

ok.
Wszystkie cztery linie zero-jedynkowej definicji równoważności są spełnione bez zastrzeżeń.

Twierdzenie Pitagorasa będące implikacją prawdziwą bo człowiek użył formy:
\(\displaystyle{ TP\Rightarrow SK}\)


\(\displaystyle{ \begin{tabular}{lll}
\left| TP &\left| SK &\left| TP \Rightarrow SK \\
\left| 1 &\left| 1 &\left| 1 \\
\left| 1 &\left| 0 &\left| 0 \\
\left| 0 &\left| 0 &\left| 1 \\
\left| 0 &\left| 1 &\left| 1 \\
\end{tabular}}\)

Ostatnia linia:
\(\displaystyle{ p = TP=0}\)
\(\displaystyle{ q = SK=1}\)
\(\displaystyle{ TP \Rightarrow SK =1 ???}\)

???!!!

Ostatnia linia:
Czy istnieje trójkąt nie prostokątny \(\displaystyle{ TP=0}\) w którym zachodzi suma kwadratów \(\displaystyle{ SK=1}\) ?

Czy na pewno to człowiek decyduje o tym że twierdzenie Pitagorasa raz jest równoważnością (prawdziwą) a innym razem implikacją (prawdziwą)?

Czym różni się linia 2 od linii 4?

Dlaczego w linii 2 jest wszystko dobrze a w linii 4 się posypało?

Linia dwa:
\(\displaystyle{ p = TP=1}\)
\(\displaystyle{ q = SK=0}\)
\(\displaystyle{ TP \Rightarrow SK =0}\)
ok.

Czy coś co nie spełnia definicji X może być prawdziwe wedle definicji X?

Czy w matematyce wystarczy aby definicja była spełniona częściowo, trzy pierwsze linie, aby uznać twierdzenie Pitagorasa za implikację prawdziwą?

Proszę kogoś mądrzejszego o wyjaśnienie bo jestem bardzo zaniepokojony.

[royas]

To często pojawiająca się wątpliwość. Ale nic złego się nie dzieje.
Weźmy takie zdanie: Jeśli mam na imię Tadeusz to pierwsza litera imienia to T.
Czy jest z tym zdaniem jakiś problem jeśli tak naprawdę mam na imię Tomek?

Jeśli implikacja jest prawdziwa to można to traktować tak, że wymusza prawdziwość następnika jeśli poprzednik jest prawdziwy. Jeśli poprzednik jest fałszywy to następnik jest bez znaczenia.

Czyli w tym przypadku jeśli weźmiesz trójkąt nieprostokątny to po prostu przy pomocy tego twierdzenia nie jesteś w stanie wywnioskować czy on spełnia \(\displaystyle{ SK}\) czy nie.

[Nedzny]

Nie ma powodów do niepokoju.

Po pierwsze:

Twierdzenie Pitagorasa będące równoważnością prawdziwą bo człowiek użył formy:

Twierdzenie Pitagorasa będące implikacją prawdziwą bo człowiek użył formy:

dziwnie że to tak podkreślasz, to "bo człowiek użył formy". Po prostu jeśli już mówimy "Zdanie X jest implikacją" to mamy na myśli właśnie dwa zdania pojedyńcze (albo predykaty) połączone spójnikiem "Jeśli...to...". I co byś nie robił zdanie połączone takim spójnikiem "to implikacja" i tyle.
Analogicznie będzie z równoważnością.
Oczywiście mówię formalnie, bo potocznie bywa różnie. Np mówiąc trochę żargonem, zdanie "p lub q" czasem będzie się rozumieć jako połączone ORem a czasem XORem.
Ale matematyka ma być jednoznaczna. Jednoznacznie: dwa zdania połączone spójnikiem "Jeśli..to..." będą "zawsze implikacją".

Uwaga formalna:
Zwykle za twierdzenie Pitagorasa uważamy albo
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.
albo
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku..


To są dwa różne zdania, niosące różną dawkę informacji.
Np. pierwsze z nich nic nie mówi o tym co wtedy gdy trójkąt nie będzie prostokątny.
Dla mnie twierdzenie Pitagorasa to to pierwsze zdanie. To drugie jest innym twierdzeniem, choć oczywiście "zwiera w" sobie twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa (Jeśli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny.)



Zapiszmy to troszkę bardziej formalnie ()

niech \(\displaystyle{ t}\) oznacza dowolny trójkąt.
wtedy
\(\displaystyle{ \forall_t (P(t) \Rightarrow Q(t))}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ P(t)}\) - trójkąt jest prostokątny
\(\displaystyle{ Q(t)}\) - suma kwadratów długości dwóch boków tego trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.


Jaki trójkąt byśmy nie wzięli możemy natrafić jedynie na dwie sytuacje
1. Mamy trójkąt prostokątny
wtedy \(\displaystyle{ P(t)=1}\) i \(\displaystyle{ Q(t)=1}\)
zaglądamy więc np. do tabelki gdzie: \(\displaystyle{ 1 \Rightarrow 1 = 1}\)

2. Mamy trójkąt który nie prostokątny
wtedy \(\displaystyle{ P(t)=0}\) i \(\displaystyle{ Q(t)=0}\)
zaglądamy więc np. do tabelki \(\displaystyle{ 0 \Rightarrow 0 = 1}\)

Sytuacji w stylu
\(\displaystyle{ 1 \Rightarrow 0}\) czy \(\displaystyle{ 0 \Rightarrow 1}\) w ogóle nie możemy doświadczyć.
Nie wiem skąd się one wzięły w Twojej analizie, podobnie dla analizy równoważności. (Przez chwilę zgłupiałem co u Ciebie oznaczają \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) )
Możemy doświadczyć jedynie sytuacji 1 lub 2, one zaś "zgodnie z tabelką" zawsze dają prawdą.
Dlatego tez i implikacja ta jest prawdziwa, nie ma takiego trójkąta który będąc prostokątnym nie spełniałby tego że suma kwadratów długości dwóch boków tego trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.

Ostatnia linia:
Czy istnieje trójkąt nie prostokątny \(\displaystyle{ TP=0}\) w którym zachodzi suma kwadratów \(\displaystyle{ SK=1}\) ?

nie istnieje, ale nikt nie mówi ze musi istnieć.

Linia dwa:
\(\displaystyle{ p = TP=1 \\
q = SK=0\\
TP \Rightarrow SK=0}\)
ok.

Hmmm, teraz ja jestem zaniepokojony
Jak ok? Nie znajdziesz takiego trójkąta żeby \(\displaystyle{ TP=1}\) i \(\displaystyle{ SK=0}\), więc o co Tobie chodzi?
Wyobrażasz sobie że on istnieje? to wtedy bardzo niedobrze by było bo twierdzenie Pitagorasa byłoby fałszywe Właśnie dlatego że \(\displaystyle{ 1 \Rightarrow 0 = 0}\)

Ale gdyby istniał trójkąt taki ze \(\displaystyle{ TP=0}\) i \(\displaystyle{ SK=1}\) to twierdzenie Pitagorasa byłoby dalej prawdziwe, ale twierdzenie odwrotne do niego już nie.


Mam nadzieje ze teraz wszystko jasne, Zaniepokojny

[Jan Kraszewski]

Zapiszmy to troszkę bardziej formalnie ()

niech \(\displaystyle{ t}\) oznacza dowolny trójkąt.
wtedy
\(\displaystyle{ \forall_t (P(t) \Rightarrow Q(t))}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ P(t)}\) - trójkąt jest prostokątny
\(\displaystyle{ Q(t)}\) - suma kwadratów długości dwóch boków tego trójkąta jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.

Jaki trójkąt byśmy nie wzięli możemy natrafić jedynie na dwie sytuacje
1. Mamy trójkąt prostokątny
wtedy \(\displaystyle{ P(t)=1}\) i \(\displaystyle{ Q(t)=1}\)
zaglądamy więc np. do tabelki gdzie: \(\displaystyle{ 1 \Rightarrow 1 = 1}\)

2. Mamy trójkąt który nie prostokątny
wtedy \(\displaystyle{ P(t)=0}\) i \(\displaystyle{ Q(t)=0}\)
zaglądamy więc np. do tabelki \(\displaystyle{ 0 \Rightarrow 0 = 1}\)

Na drugą sytuacje też nie natrafimy, bo wnioskowanie, z którym mamy tutaj do czynienia jest czymś ciut innym niż implikacja (czyli nie \(\displaystyle{ TP \Rightarrow SK}\), tylko \(\displaystyle{ TP\models SK}\)).

Tego twierdzenia nie traktujemy jako implikacji w sensie spójnika logicznego, tylko jako wnioskowanie. Wobec tego sprawdzamy, czy z prawdziwości założenia jesteśmy w stanie wywnioskować prawdziwość tezy, żadne inne sytuacje nas nie interesują.

JK

[Nedzny]

Ja to wszystko pisałem w założeniu że właśnie "taktujemy to jako implikacje" i sprawdzamy dla różnych losowych trójkątów. Inaczej w ogóle bym nie mógł zinterpretować o co chodzi zaniepokojonemu. A uznałem że tutaj nie chodzi tyle o Pitagorasa co o wyjaśnienie jak działa implikacja.
Niemniej oczywiście dziękuje za sprostowanie i głębsze wyjaśnienie sprawy.

[Valki]

Obiecałem, że wyjaśnię, skąd z mojej strony pojawiały się takie dziwne, infantylne pytania. Otóż była to kwestia zakładu z pewnym panem, uporczywie krytykującym klasyczny rachunek zdań (i predykatów) i forsującym własną "logikę" z "algebrą". Zakład dotyczył Państwa reakcji na treść przedstawioną w pierwszym poście tematu (w mniemaniu mojego adwersarza, wspomniany nauczyciel powinien zostać - niekoniecznie dosłownie - wyzwany od głupków, bo "równoważność prawdziwa nie może być implikacją prawdziwą"). Zakład wygrałem i potwierdziły się moje przypuszczenia dotyczące tamtej persony.

Dziękuję za odpowiedzi i przepraszam, że wciągnąłem Państwa w taką rozgrywkę.

Chociaż nie jest wykluczone, że komuś niezbyt zorientowanemu w podstawach logiki przydadzą się wyjaśnienia umieszczone w tym temacie Czasem uczniowie mają problemy z załapaniem, o co chodzi w implikacji.