Twierdzenie o trzech ciągach - obliczenie granicy ciągu

[Arxas]

Mam problem z następującymi przykładami:

1. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \sqrt[n]{1+5n^2+3n^5}}\)

Doszedłem do tego:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{1} \leqslant \sqrt[n]{1+5n^2+3n^5} \leqslant ?}\)

Ale co dalej? Nie mam zielonego pojęcia.

2. \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}+ \frac{3}{n^3}+ \frac{4}{n^4}}}\)

3. \(\displaystyle{ \lim_{x \to\infty } \frac{log_{n}(n^4+1)}{log_{n}(n^2+1)}}\)

4. \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } ( \frac{1}{ \sqrt{n^4+1} } + \frac{2}{ \sqrt{n^4+2} } + ...+ \frac{n}{ \sqrt{n^4+n} })}\)

[charlie85]

Po pierwsze we wszystkich granicach powinno być \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}}\)

Ad. 1) \(\displaystyle{ \sqrt[n]{1+5n^2+3n^5}\leq\sqrt[n]{5n^5+5n^5+5n^5}=\sqrt[n]{15}(\sqrt[n]{n})^5\to1\cdot 1^5=1}\)

Ad. 2) \(\displaystyle{ 1\leftarrow\sqrt[n]{\frac{1}{n}}\leq\sqrt[n]{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^3}+\frac{4}{n^4}}\leq\sqrt[n]{\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\frac{4}{n}}=\frac{\sqrt[n]{10}}{\sqrt[n]{n}}\to1}\)

Ad. 3) Można np. tak: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\log_n(n^4+1)}{\log_n(n^2+1)}=
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n^4+1)}{\ln(n^2+1)}=2}\)

Ad. 4) \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2\sqrt{n^4+n}}\leq\frac{1}{\sqrt{n^4+1}}+\frac{2}{\sqrt{n^4+2}}+\ldots+\frac{n}{\sqrt{n^4+n}}\leq\frac{1}{\sqrt{n^4+1}}(1+2+\ldots+n)=\frac{n(n+1)}{2\sqrt{n^4+1}}}\).
Ciągi po obu stronach dążą oczywiście do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

Pozdro!

[bedbet]

3.)

Mało kto uznałby takie błyskawiczne przejście za samodzielne policzenie tej granicy np.na kolokwium

[charlie85]

3.)

Mało kto uznałby takie błyskawiczne przejście za samodzielne policzenie tej granicy np.na kolokwium

A kto powiedział że nie można tego bardziej "naukowo" rozpisać;)

[patpop]

Ad. 3) Można np. tak: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\log_n(n^4+1)}{\log_n(n^2+1)}=
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n^4+1)}{\ln(n^2+1)}=2}\)

Liczę to i licze i cały czas wychodzi mi nieskończoność, mógłby to ktoś rozpisać?:]

[Zordon]

Liczę to i licze i cały czas wychodzi mi nieskończoność, mógłby to ktoś rozpisać?:][/quote]
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n^4+1)}{\ln(n^2+1)}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n^4(1+\frac{1}{n^4}))}{\ln(n^2(1+\frac{1}{n^2}))}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n^4)+\ln(1+\frac{1}{n^4})}{\ln(n^2)+\ln(1+\frac{1}{n^2})}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{4\ln(n)+\ln(1+\frac{1}{n^4})}{2\ln(n)+\ln(1+\frac{1}{n^2})}=}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{4+\frac{\ln(1+\frac{1}{n^4})}{\ln(n)}}{2+\frac{\ln(1+\frac{1}{n^2})}{\ln(n)}}=\frac{4+0}{2+0}=2}\)

[Jacek_fizyk]

mam pytanie czy ktos moze mi wytlumaczyc jak obliczyc ta granice (w drugim poscie)
\(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\frac{4}{n}}=\frac{\sqrt[n]{10}}{\sqrt[n]{n}}\to1}\)???

[gryzzly92]

Najpierw na jedną kreskę (pcha się w oczy, myślę ze zauważyłeś) i pod pierwiastkiem n-tego 10/n

Teraz z własności pierw. ułamka to wynik dzielenia pierw. liczn. przez mianownik i tutaj. gdy stałą (10) pierwiastkujesz "nieskończenie wiele razy" to wychodzi Ci coś koło jedynki (ociupinę więcej wydaje się ale w nieskończoności to jest "0").

tak samo z liczbą n nawet zobacz 100 spierwiastkuj 100krotnie...

takie tłumaczenie na chłopski rozum...