Rozwiń w szereg Fouriera sprawdzenie poprawności

MalaMi717 · Post autor: **MalaMi717** » 5 wrz 2012, o 00:09

Rozwiń w szereg Fouriera $\displaystyle{ f(x)=\left| x\right|}$ <-1;1>
Funkcja jest parzysta więc $\displaystyle{ b_{n}=0}$ i funkcję rozwijamy w szereg cosinusów a więc korzystamy ze wzorów
$\displaystyle{ $
\begin{aligned}
a_0&=\frac{2}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\dd x\,,\\[2ex]

a_n&=\frac{2}{l}\int_{-l}^{l}f(x) \cos \frac{nx\pi}{l}

\end{aligned}}$
Tak więc po obliczniach wyszło mi
$\displaystyle{ $
\begin{aligned}
a_0&=1\\[2ex]

b_n&=0
\end{aligned}}$
Czy ktoś mógłby zweryfikować poprawność rozwiązania

Post autor: **luka52** » 5 wrz 2012, o 00:40

Jakiego rozwiązania? Przecież to jest niedokończone. Zapisałaś tylko wzorek na $\displaystyle{ a_n}$ a to wypadałoby policzyć do końca.

MalaMi717 · Post autor: **MalaMi717** » 5 wrz 2012, o 10:47

Faktycznie się pomyliłam miało być $\displaystyle{ a_{n}=0}$ w pierwszym poście taki właśnie wyszedł mi wynik. A oto rozwiązanie
$\displaystyle{
\begin{cases}
a_0=1\\
a_n=\frac{2}{1}\int_{0}^{1}x \cos \frac{nx\pi}{1}dx=2\ \left[ \frac{x}{nx}\sin(nx\pi)+\frac{1}{n^{2}\pi^{2}}\cos(nx\pi)\right] _{0}^{1} =0
\end{cases}}$
więc co wtedy czy $\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}}$?

Post autor: **luka52** » 5 wrz 2012, o 10:53

Dlaczego w całce na $\displaystyle{ a_n}$ zapisujesz granice od $\displaystyle{ 0}$ do $\displaystyle{ 1}$, skoro wzór jest inny?

MalaMi717 · Post autor: **MalaMi717** » 5 wrz 2012, o 11:21

luka52 pisze:Dlaczego w całce na $\displaystyle{ a_n}$ zapisujesz granice od $\displaystyle{ 0}$ do $\displaystyle{ 1}$, skoro wzór jest inny?

Narysowałam wykres i przyjęłam że
$\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} x\ dla \ x \in \left\langle 0,1\right\rangle \\ -x \ dla \ x \in \left\langle -1,0\right) \end{cases}}$ CZy coś źle robię?

Post autor: **luka52** » 5 wrz 2012, o 11:25

$\displaystyle{ 0x}$? Poza tym $\displaystyle{ f}$ jest określona na $\displaystyle{ [-1,1]}$ a Ty w całce bierzesz tylko połówkę $\displaystyle{ [0,1]}$.

MalaMi717 · Post autor: **MalaMi717** » 5 wrz 2012, o 11:30

luka52 pisze:$\displaystyle{ 0x}$? Poza tym $\displaystyle{ f}$ jest określona na $\displaystyle{ [-1,1]}$ a Ty w całce bierzesz tylko połówkę $\displaystyle{ [0,1]}$.

OK czyli rozumiem, że mam wziąć tex][-1,1][/latex] i będzie dobrze

Post autor: **luka52** » 5 wrz 2012, o 11:35

Tylko musisz poprawić wzór na $\displaystyle{ a_n}$ bo zamiast:

$\displaystyle{ a_n = \frac{2}{l}\int_{-l}^{l}f(x) \cos \frac{nx\pi}{l} \, \dd x}$

powinno być:

$\displaystyle{ a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x) \cos \frac{nx\pi}{l} \, \dd x}$

Tu wstawiasz $\displaystyle{ l=1}$ i $\displaystyle{ f(x) = |x|}$.

MalaMi717 · Post autor: **MalaMi717** » 5 wrz 2012, o 11:53

No to się pogubiłam dlaczego

$\displaystyle{ a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x) \cos \frac{nx\pi}{l} \, \dd x}$

przecież jest to funkcja parzysta

-- 5 wrz 2012, o 11:57 --

Czyli będę mieć (o ile dobrze rozumiem)

$\displaystyle{ a_n = \frac{1}{1}\int_{-1}^{1}\left| x\right| \cos \frac{nx\pi}{1} \, \dd x= \int_{-1}^{0} -x \cos \left( nx\pi\right)+\int_{0}^{1} x \cos \left( nx\pi\right)}$

?

Post autor: **luka52** » 5 wrz 2012, o 12:04

To jest wzór na $\displaystyle{ a_n}$ dla dowolnej funkcji ->
Tak.

MalaMi717 · Post autor: **MalaMi717** » 5 wrz 2012, o 12:08

Dziękuję chyba już rozumiem